Question

Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах p и q, если: p=-3a+2b; q=8a-b; a, b - единичные перпендикулярные векторы

Answer 1

длина первого вектора равна

|p| = корень(9+4) = корень(13)

длина второго вектора равна

|q| = корень(64+1) = корень(65)

угол между этими векторами выражаем из скалярного произведения

cos(a) = (p*q)/(|p|*|q|) = (24 - 2)/(13*корень из 5), тогда, после построения параллелограмма опустим перпендикуляр на большую сторону и рассмотрим получившийся треугольник:

зная косинус, находим синус по основному тригонометрическому тождеству:

sin(a) = 19/(13* корень из 5)

находим высоту параллелограмма

h = |p| * sin(a) = (19*корень из 13)/(13* корень из 5) = 19/корень из 65

находим площадь параллелограмма:

S = h* |q| = 19

Ответ:19

Answer 2

Площадь параллелограмма, построенного на двух векторах, можно найти с помощью векторного произведения. Пусть у нас есть два вектора \( \mathbf{p} \) и \( \mathbf{q} \), заданных как:

\[ \mathbf{p} = -3\mathbf{a} + 2\mathbf{b} \] \[ \mathbf{q} = 8\mathbf{a} - \mathbf{b} \]

Площадь параллелограмма, построенного на этих векторах, равна модулю векторного произведения \( \mathbf{p} \) и \( \mathbf{q} \):

\[ \text{Площадь} = |\mathbf{p} \times \mathbf{q}| \]

Где векторное произведение определено как:

\[ \mathbf{p} \times \mathbf{q} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ p_x & p_y & p_z \\ q_x & q_y & q_z \end{vmatrix} \]

В данном случае, поскольку у нас единичные перпендикулярные векторы \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \), мы можем записать их компоненты как:

\[ \mathbf{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \]

Теперь подставим значения векторов \( \mathbf{p} \) и \( \mathbf{q} \):

\[ \mathbf{p} = -3\mathbf{a} + 2\mathbf{b} = -3\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + 2\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} \]

\[ \mathbf{q} = 8\mathbf{a} - \mathbf{b} = 8\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} \]

Теперь вычислим векторное произведение \( \mathbf{p} \times \mathbf{q} \):

\[ \mathbf{p} \times \mathbf{q} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3 & 2 & 0 \\ 8 & -1 & 0 \end{vmatrix} \]

Вычислим определитель:

\[ \mathbf{p} \times \mathbf{q} = \mathbf{i}(-2 \cdot 0 - 0 \cdot (-1)) - \mathbf{j}(-3 \cdot 0 - 8 \cdot 0) + \mathbf{k}(-3 \cdot (-1) - 8 \cdot 2) \]

\[ \mathbf{p} \times \mathbf{q} = \begin{bmatrix} -16 \\ 24 \\ 17 \end{bmatrix} \]

Теперь найдем модуль вектора \( \mathbf{p} \times \mathbf{q} \):

\[ |\mathbf{p} \times \mathbf{q}| = \sqrt{(-16)^2 + 24^2 + 17^2} \]

\[ |\mathbf{p} \times \mathbf{q}| = \sqrt{256 + 576 + 289} \]

\[ |\mathbf{p} \times \mathbf{q}| = \sqrt{1121} \]

Таким образом, площадь параллелограмма равна \( \sqrt{1121} \).