Question

Сбрасывается одиночно 7 бомб. Вероятность попадания в цель одной бомбой равна 0,85. Найти: а) вероятность того, что будет не менее одного попадания; б) наивероятнейшее число попаданий.

Answer 1

Відповідь:

Покрокове пояснення:

p=0,85 q=0,15

n число попаданий

а) P(n>0)=1-P(n=0)=1-q⁷=0,999998

б) Np-q=<n=<Np+p

N=7

Np-q=7×0,85-0,15=5,8

Np-+p=7×0,85+0,85=6,8

n=6

Answer 2

Давайте рассмотрим данную ситуацию. Пусть событие \(A\) - это попадание бомбы в цель, а событие \(A'\) - не попадание в цель. Тогда вероятность попадания в цель одной бомбой равна \(P(A) = 0.85\), а вероятность не попадания равна \(P(A') = 1 - P(A) = 1 - 0.85 = 0.15\).

a) Вероятность того, что будет не менее одного попадания:

Чтобы найти вероятность того, что произойдет не менее одного попадания, мы можем воспользоваться дополнением (complement rule). Вероятность не попасть ни разу равна произведению вероятностей не попадания каждой из семи бомб:

\[P(\text{не менее одного попадания}) = 1 - P(\text{ни одного попадания})\]

\[P(\text{не менее одного попадания}) = 1 - P(A')^7\]

\[P(\text{не менее одного попадания}) = 1 - (0.15)^7\]

b) Наивероятнейшее число попаданий:

Наивероятнейшее число попаданий можно найти, определив, при каком числе попаданий вероятность будет максимальной. Это соответствует биномиальному распределению.

Формула для вероятности \(P(X = k)\) того, что произойдет \(k\) успехов в серии из \(n\) независимых испытаний с вероятностью успеха \(p\), где \(X\) - случайная величина, имеющая биномиальное распределение:

\[P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

где \(C_n^k\) - биномиальный коэффициент (число сочетаний из \(n\) по \(k\)).

В данном случае \(n = 7\), \(p = 0.85\), и мы хотим найти наивероятнейшее \(k\).

Наивероятнейшее число попаданий \(k\) можно найти, вычислив вероятности для каждого \(k\) от 0 до 7 и выбрав тот \(k\), для которого вероятность максимальна.

\[P(X = k) = C_7^k \cdot (0.85)^k \cdot (0.15)^{7-k}\]

Вычислим вероятности для каждого \(k\) и выберем \(k\), при котором вероятность максимальна.