Question

Вероятность попадания в цель одним выстрелом равна 0,5 . Производят пять выстрелов . Найти: a. Распределение вероятностей числа попаданий ; b. Наивероятнейшее число попаданий ; c . Вероятность , что попаданий будет не более 2-х .

Answer 1

Возможные исходы:
1) Ни одного попадания. Вероятность P0=(0,5)⁵=0,03125.
2) Одно попадание. Вероятность P1=5*(0,5)⁵=0,15625.
3) Два попадания. Вероятность P2=10*(0,5)⁵=0,3125.
4) Три попадания. Вероятность P3=10*(0,5)⁵=0,3125.
5) Четыре попадания. Вероятность P4=5*(0,5)⁵=0,15625.
6) Пять попаданий. Вероятность P5=(0,5)⁵=0,03125.
 
Так как указанные исходы образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей должна быть равна 1. Суммируя найденные вероятности, находим, что их сумма равна 1. Значит, вероятности найдены верно. Так как данная случайная величина X (число попаданий при 5 выстрелах) есть величина дискретная, то закон её распределения можно представить в виде таблицы, где Xi - значение случайной величины X, Pi - соответствующая вероятность.

Xi           0             1             2            3            4               5   
Pi    0,03125  0,15625   0,3125   0,3125   0,15625   0,03125

Отсюда следует, что наивероятнейшее число попаданий есть 2 и 3.  
Вероятность того, что попаданий будет не более двух
P=P0+P1+P2=0,5.

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем использовать биномиальное распределение, так как каждый выстрел является независимым событием с вероятностью успеха (попадания в цель) равной 0.5.

а. Распределение вероятностей числа попаданий: Для этого мы можем использовать формулу биномиального распределения:

P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)

где: P(X=k) - вероятность получить k попаданий из n выстрелов, C(n, k) - число сочетаний из n по k (так как порядок попаданий не важен), p - вероятность попадания в цель (0.5), n - общее количество выстрелов (5), k - количество попаданий.

Теперь мы можем вычислить вероятности для всех возможных значений числа попаданий (от 0 до 5):

P(X=0) = C(5, 0) * 0.5^0 * 0.5^5 = 1 * 1 * 0.03125 = 0.03125 P(X=1) = C(5, 1) * 0.5^1 * 0.5^4 = 5 * 0.5 * 0.0625 = 0.15625 P(X=2) = C(5, 2) * 0.5^2 * 0.5^3 = 10 * 0.25 * 0.125 = 0.3125 P(X=3) = C(5, 3) * 0.5^3 * 0.5^2 = 10 * 0.125 * 0.25 = 0.3125 P(X=4) = C(5, 4) * 0.5^4 * 0.5^1 = 5 * 0.0625 * 0.5 = 0.15625 P(X=5) = C(5, 5) * 0.5^5 * 0.5^0 = 1 * 0.03125 * 1 = 0.03125

Таким образом, распределение вероятностей числа попаданий будет следующим: P(X=0) = 0.03125 P(X=1) = 0.15625 P(X=2) = 0.3125 P(X=3) = 0.3125 P(X=4) = 0.15625 P(X=5) = 0.03125

б. Наивероятнейшее число попаданий: Наивероятнейшее число попаданий соответствует максимальной вероятности. Из распределения вероятностей мы видим, что наивероятнейшее число попаданий равно 2.

c. Вероятность, что попаданий будет не более двух: Чтобы найти вероятность, что попаданий будет не более двух, мы должны сложить вероятности для случаев, когда попаданий равно 0, 1 и 2:

P(X<=2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 0.03125 + 0.15625 + 0.3125 = 0.5

Таким образом, вероятность того, что попаданий будет не более двух, равна 0.5.