Question

Помогите решить! Сделано 5 выстрелов по цели. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,2. Найти вероятность того, что а) произошло хотя бы одно попадание в цель; б) только одно попадание в цель; в) не менее одного попадания в цель. Чему равны г) наивероятнейшее число таких изделий; д) вероятность наиболее вероятного числа?

Answer 1

А) Хотя бы одно, обратное этому - ни одного попадания.
Получаем: 1-0,8^5=0.67232
б) Получаем 5 возможных исходов, где 1 попадание, а 0 - промах.
10000, 01000,00100, 00010,00001
Т.е. 0,2*0,8^4*5=0.4096
в) Не менее одного, т.е. как я понимаю >1, т.е. хотя бы 2.
Получаем, что это тоже самое, что мы уже считали:
0.67232, но исключая одно попадание, т.е.
0.67232-0.4096=0.26272

г, в - нет условия к вашим задачам, потому что в контексте 'изделий' и что такое: 'вероятность вероятного числа".

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,2, а вероятность промаха (не попадания) равна 0,8.

a) Вероятность хотя бы одного попадания в цель

Чтобы найти вероятность того, что произошло хотя бы одно попадание в цель, мы можем использовать дополнение вероятности промаха. То есть, вероятность хотя бы одного попадания в цель равна 1 минус вероятность того, что все попытки будут промахами.

Вероятность промаха при каждом выстреле равна 0,8. Таким образом, вероятность того, что все попытки будут промахами, равна 0,8 в степени количества выстрелов. В нашем случае, количество выстрелов равно 5. Поэтому:

Вероятность хотя бы одного попадания в цель = 1 - (0,8^5) = 1 - 0,32768 = 0,67232

Таким образом, вероятность того, что произошло хотя бы одно попадание в цель равна 0,67232.

б) Вероятность только одного попадания в цель

Чтобы найти вероятность того, что произошло только одно попадание в цель, нам нужно учесть два случая: один попадание и четыре промаха.

Вероятность одного попадания и четырех промахов можно вычислить по формуле биномиального распределения:

P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)

где n - количество попыток (выстрелов), k - количество попаданий, p - вероятность попадания.

В нашем случае, количество попыток (выстрелов) равно 5, количество попаданий (k) равно 1, а вероятность попадания (p) равна 0,2. Подставляя эти значения в формулу, мы получаем:

P(X=1) = C(5, 1) * 0,2^1 * (1-0,2)^(5-1) = 5 * 0,2 * 0,8^4 ≈ 0,4096

Таким образом, вероятность того, что произошло только одно попадание в цель, равна примерно 0,4096.

в) Вероятность не менее одного попадания в цель

Чтобы найти вероятность не менее одного попадания в цель, мы можем использовать ту же формулу, что и в пункте а), но изменить количество промахов на ноль. То есть, нужно найти вероятность хотя бы одного попадания в цель:

Вероятность хотя бы одного попадания в цель = 1 - (0,8^5) = 0,67232

Таким образом, вероятность того, что произошло не менее одного попадания в цель, равна 0,67232.

г) Наивероятнейшее число попаданий

Наивероятнейшее число попаданий можно найти, используя формулу наивероятнейшего числа (мода) биномиального распределения:

Мода = (n+1) * p

где n - количество попыток (выстрелов), p - вероятность попадания.

В нашем случае, количество попыток (выстрелов) равно 5, а вероятность попадания (p) равна 0,2. Подставляя эти значения в формулу, мы получаем:

Мода = (5+1) * 0,2 = 1,2

Таким образом, наивероятнейшее число попаданий равно 1,2. Поскольку количество попаданий должно быть целым числом, наивероятнейшее число попаданий будет округлено до ближайшего целого числа, то есть 1.

д) Вероятность наиболее вероятного числа попаданий

Вероятность наиболее вероятного числа попаданий также можно найти, используя формулу моды биномиального распределения:

Вероятность наиболее вероятного числа попаданий = p^k * (1-p)^(n-k)

где n - количество попыток (выстрелов), k - наивероятнейшее число попаданий, p - вероятность попадания.

В нашем случае, количество попыток (выстрелов) равно 5, наивероятнейшее число попаданий равно 1, а вероятность попадания (p) равна 0,2. Подставляя эти значения в формулу, мы получаем:

Вероятность наиболее вероятного числа попаданий = 0,2^1 * (1-0,2)^(5-1) = 0,2 * 0,8^4 ≈ 0,08192

Таким образом, вероятность наиболее вероятного числа попаданий равна примерно 0,08192.