Question

Задача 8. Саша начертил квадрат размером 6х6 клеток и поочерёдно закрашивает в нём по одной клетке. Закрасив очередную клетку, он за- писывает в ней число — количество закрашенных клеток, соседних с ней (соседними считаются клетки, имеющие общую сторону). Закрасив весь квадрат, Саша складывает числа, записанные во всех клетках. Какие Ана- чения может принимать эта сумма? Если значений несколько, запишите в ответ наибольшее из них. 8

Answer 1

Решение:

Рассмотрим единичные отрезки, которые являются общими сторонами для двух клеток. Таких отрезков ровно шестьдесят – 30 вертикальных и 30 горизонтальных. Если отрезок разграничивает две закрашенные клетки, то будем говорить, что он "окрашен". Когда Саша пишет какое-то число в клетке, он указывает количество отрезков, которые не были окрашены до закрашивания этой клетки, а теперь стали окрашенными. Когда Саша приступает к суммированию, окрашены все 60 отрезков, то есть сумма чисел, которые записывает.

Ответ: 60

Answer 2

Давайте рассмотрим, как изменяется количество закрашенных клеток и числа в них при каждом шаге. Сначала у нас есть квадрат 6x6 клеток.

1. Шаг 1: Саша закрашивает одну из клеток. В этой клетке у нас 4 соседние клетки (верхняя, нижняя, левая, правая).

   0 0 0 0 0 0
   0 0 0 0 0 0
   0 0 0 0 0 0
   0 0 0 1 0 0
   0 0 0 0 0 0
   0 0 0 0 0 0
   

2. Шаг 2: Саша закрашивает следующую клетку. Теперь у нас две закрашенные клетки с числами 4 в каждой (по 4 соседние клетки).

   0 0 0 0 0 0
   0 0 0 0 0 0
   0 0 0 0 0 0
   0 0 0 1 2 0
   0 0 0 0 0 0
   0 0 0 0 0 0
   

3. Шаг 3: Таким образом, каждый раз, когда Саша закрашивает клетку, число в ней увеличивается на 4, так как она имеет 4 соседние клетки.

   0 0 0 0 0 0
   0 0 0 0 0 0
   0 0 0 0 0 0
   0 0 1 2 3 0
   0 0 0 0 0 0
   0 0 0 0 0 0
   

4. Шаг 4: Продолжая этот процесс, мы получим следующую картину:

   0 0 0 0 0 0
   0 0 0 0 0 0
   0 0 0 0 0 0
   0 1 2 3 4 0
   0 0 0 0 0 0
   0 0 0 0 0 0
   

5. Шаг 5: И так далее, пока весь квадрат не будет закрашен.

   0 0 0 0 0 0
   0 0 0 0 0 0
   0 0 1 2 3 0
   0 1 2 3 4 0
   0 0 1 2 3 0
   0 0 0 0 0 0
   

6. Шаг 6: Суммируя числа в каждой клетке, мы получаем:

   0 0 0 0 0 0
   0 0 0 0 0 0
   0 0 1 2 3 0
   0 1 2 3 4 0
   0 0 1 2 3 0
   0 0 0 0 0 0
   

Сумма всех чисел в клетках равна 1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 = 16.

Таким образом, сумма чисел в закрашенных клетках может принимать значения от 1 до 16 включительно.