Question

знайдіть висоту правильної трикутної піраміди, сторона основи якої дорівнює b, а бічна грань утворює з площиною кут a

Answer 1

Ответ:

$\frac{b}{2\sqrt{3} * tg\alpha }$

Пошаговое объяснение:

Маємо правильну трикутну піраміду SABC, в основі якої лежить правильний (рівносторонній) трикутник ABC. Нехай довжина його сторони рівна в.

Висота SO правильної трикутної піраміди проектується у центр вписаного в трикутник ABC  кола.

Радіус вписаного кола:  r = MO = b/ 2√3

За властивістю радіуса вписаного кола: MO⊥BC.

Оскільки висота SO перпендикулярна до площини основи (трикутника ABC), то вона перпендикулярна до кожної прямої, що лежить в цій площині, тому SO⊥OM.

Відрізок SM – похила, а OM – проекція похилої на площину основи (ΔABC), тому ∠SMO=α – кут нахилу бічной грані до площини основи.

З прямокутного ΔSOM(∠O = 90°) : h = SO = MO*tg α = b/ 2√3 * tg α

Answer 2

Для знаходження висоти правильної трикутної піраміди можна скористатися теоремою Піфагора та подібністю трикутників.

Розглянемо правильну трикутну піраміду з основою у вигляді рівностороннього трикутника. Нехай b - довжина сторони основи, a - кут між бічною гранню та площиною основи, h - висота піраміди.

1. Спочатку розглянемо верхній трикутник, який утворюється проекцією вершини піраміди на площину основи. Цей трикутник є рівностороннім зі стороною b.

2. За теоремою Піфагора маємо \(h^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = a^2\).

3. Тепер розглянемо бічний трикутник, який утворюється половиною сторони основи, висотою піраміди та бічною гранню піраміди. Цей трикутник також є рівнобедреним з кутом \(a\) при основі.

4. З подібності трикутників можемо записати співвідношення \(\frac{h}{\frac{b}{2}} = \tan(a)\).

Розв'язавши систему рівнянь з отриманими співвідношеннями, можна знайти значення висоти \(h\).