Question

Помогите пожалуйста решить правильно. А то в мои 54 года уже голова не работает. Извините... Исследовать функцию и построить график y=x^2-4/x

Answer 1

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle y=\frac{x^2-4}{x}$

1. ОДЗ: х≠0   или   х∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞)

2. Четность, нечетность:

$\displaystyle y(-x)=\frac{(-x)^2-4}{-x} =-\frac{x^2-4}{x} \\\\ y(-x)=-y(x)$

⇒ функция нечетная.

3. Нули функции:

$\displaystyle y=0\\x^2-4=0\\(x-2)(x+2)=0\\x_1=2;\;\;\;x_2=-2$

4. Асимптоты.

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^2-4}{x}= \infty$

⇒ x = 0 - вертикальная асимптота.

Наклонная : y = kx + b

$\displaystyle k= \lim_{x \to \infty} \frac{x^2-4}{x*x}= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^2}{x^2}-\frac{4}{x^2} }{\frac{x^2}{x^2} } =1$

$\displaystyle b= \lim_{x \to \infty} (\frac{x^2-4}{x}-x)= \lim_{x \to \infty} \frac{x^2-4-x^2}{x}=0$

⇒ y=x - наклонная асимптота.

5. Возрастание, убывание:

Найдем производную, приравняем к 0. Найдем корни, отметим на числовой оси, определим знак производной на промежутках.

Если "+", функция возрастает, "-" - убывает.

$\displaystyle y'=\frac{2x*x-(x^2-4)*1}{x^2}= \frac{x^2+4}{x^2}$

y' > 0;    x ≠ 0

См. рис.

6. Выпуклость, вогнутость.

Найдем вторую производную, приравняем к 0. Найдем корни, отметим на числовой оси, определим знак второй производной на промежутках.

Если "+", функция вогнутая, "-" - выпуклая.

$\displaystyle y''=\frac{2x*x^2-(x^2+4)*2x}{x^4}=\frac{2x^3-2x^3-8x}{x^4}=-\frac{8}{x^3}$

x ≠ 0

при x<0 - вогнута; при x>0 - выпукла.

Cм. рис.

Строим график.

Answer 2

Исследование функции и построение графика

Для исследования функции и построения графика уравнения y = x^2 - 4/x, мы можем использовать различные методы, такие как анализ производных, анализ асимптот, исследование точек пересечения с осями координат и т.д.

Давайте начнем с анализа производных этой функции. Производная функции позволяет нам определить экстремумы и направление изменения функции.

Анализ производных

Для нашей функции y = x^2 - 4/x, найдем производную:

y' = 2x + 4/x^2

Теперь найдем точки, где производная равна нулю:

2x + 4/x^2 = 0

Умножим обе части уравнения на x^2:

2x^3 + 4 = 0

Решим это уравнение:

2x^3 = -4

x^3 = -2

x = -2^(1/3)

Теперь, найдем вторую производную, чтобы определить, являются ли найденные точки экстремумами или точками перегиба.

y'' = 2 - 8/x^3

Подставим найденное значение x = -2^(1/3) во вторую производную:

y'' = 2 - 8/(-2^(1/3))^3

y'' = 2 - 8/(-2)

y'' = 2 + 4

y'' = 6

Так как вторая производная y'' не равна нулю, это означает, что найденная точка x = -2^(1/3) является точкой перегиба, а не экстремумом.

Анализ асимптот

Теперь давайте рассмотрим асимптоты этой функции. Асимптоты - это линии, которые функция приближается, но никогда не пересекает.

1. Горизонтальная асимптота: Для определения горизонтальной асимптоты, мы рассмотрим поведение функции при стремлении x к бесконечности. В нашем случае, когда x стремится к бесконечности, функция будет стремиться к бесконечности, поэтому у нас нет горизонтальной асимптоты.

2. Вертикальная асимптота: Для определения вертикальной асимптоты, мы рассмотрим поведение функции при стремлении x к определенным значениям. В нашем случае, когда x стремится к нулю, функция будет стремиться к бесконечности, поэтому у нас есть вертикальная асимптота x = 0.

Построение графика

Теперь, имея все эти данные, мы можем построить график функции y = x^2 - 4/x.


На графике видно, что функция имеет точку перегиба в x = -2^(1/3) и вертикальную асимптоту в x = 0. Также заметно, что функция стремится к бесконечности при x стремящемся к нулю.

Надеюсь, эта информация поможет вам решить вашу задачу. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!