Question

Limx ➡️0 1-cos x/x(√1+x-1)

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте рассмотрим предел:

\[ \lim_{{x \to 0}} \frac{{1 - \cos x}}{{x(\sqrt{1 + x} - 1)}} \]

Для начала, заметим, что в числителе у нас есть разность косинусов, а в знаменателе у нас присутствует корень. Обычно при работе с подобными пределами удобно использовать тригонометрические тождества или алгебраические преобразования.

Мы можем воспользоваться тригонометрическим тождеством:

\[ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \]

Отсюда следует, что:

\[ \cos x = 1 - \sin^2 x \]

Теперь мы можем подставить это выражение в числитель нашего предела:

\[ \lim_{{x \to 0}} \frac{{1 - (1 - \sin^2 x)}}{{x(\sqrt{1 + x} - 1)}} \]

Упростим выражение:

\[ \lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin^2 x}}{{x(\sqrt{1 + x} - 1)}} \]

Теперь мы можем разложить корень в знаменателе в ряд Тейлора, так как \( x \) стремится к 0:

\[ \sqrt{1 + x} = 1 + \frac{x}{2} + O(x^2) \]

Теперь подставим это обратно в предел:

\[ \lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin^2 x}}{{x\left(\left(1 + \frac{x}{2} + O(x^2)\right) - 1\right)}} \]

Упростим выражение в знаменателе:

\[ \lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin^2 x}}{{x \cdot \frac{x}{2}}} \]

\[ = \lim_{{x \to 0}} \frac{{2 \sin^2 x}}{{x^2}} \]

Теперь используем тригонометрическое тождество \( \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \):

\[ = \lim_{{x \to 0}} \frac{{2 \left(\frac{1 - \cos 2x}{2}\right)}}{{x^2}} \]

\[ = \lim_{{x \to 0}} \frac{{1 - \cos 2x}}{{x^2}} \]

Теперь мы можем использовать известное тригонометрическое тождество \( \lim_{{x \to 0}} \frac{{1 - \cos ax}}{{x^2}} = \frac{a^2}{2} \):

\[ = \frac{2^2}{2} \]

\[ = 2 \]

Таким образом, \(\lim_{{x \to 0}} \frac{{1 - \cos x}}{{x(\sqrt{1 + x} - 1)}} = 2\).