Question

Учитель попросил Катю и Лену написать по кругу 4 натуральных числа, сумма которых равна 8, но никакие несколько (от 1 до 3) подряд идущих чисел не дают в сумме 4. Обе девочки выполнили задание. Могло ли оказаться, что Лена написала какое-то число, которое Катя не написала? (С. П. Павлов)

Answer 1

Ответ:

МОГЛО.

Пошаговое объяснение:

Написать 8 четырьмя числами можно такими способами:

8 = 1 + 1 + 1 + 5 = 1 + 1 + 2 + 4 = 1 + 1 + 3 + 3 = 1 + 2 + 2 + 3 = 2 + 2 + 2 + 2

Лена могла написать вариант: 1, 1, 1, 5.

А Катя могла написать вариант: 1, 2, 3, 2.

В обоих случаях никакие 1, 2 или 3 подряд идущие числа не дают 4.

Так что ответ: МОГЛО.

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу более подробно.

У нас есть две девочки, Катя и Лена, и задача написать по кругу 4 натуральных числа так, чтобы их сумма была равна 8, и никакие несколько (от 1 до 3) подряд идущих чисел не давали в сумме 4.

Давайте представим, что Катя написала числа \(a, b, c, d\), а Лена написала числа \(w, x, y, z\).

Сумма чисел Кати равна \(a + b + c + d\), а сумма чисел Лены равна \(w + x + y + z\).

По условию задачи сумма этих чисел равна 8:

\[a + b + c + d = w + x + y + z = 8.\]

Также условие гласит, что никакие несколько (от 1 до 3) подряд идущих чисел не дают в сумме 4. Это означает, что нам нужно исключить определенные комбинации. Рассмотрим возможные комбинации:

1. \(a + b + c = 4\) (три подряд идущих числа у Кати). 2. \(b + c + d = 4\) (три подряд идущих числа у Кати). 3. \(w + x + y = 4\) (три подряд идущих числа у Лены). 4. \(x + y + z = 4\) (три подряд идущих числа у Лены).

Теперь, давайте рассмотрим, какие значения могут принимать эти суммы и соответствующие им наборы чисел.

1. Возможные значения \(a + b + c = 4\): - \(a = 1, b = 1, c = 2\). - \(a = 1, b = 2, c = 1\). - \(a = 2, b = 1, c = 1\).

2. Возможные значения \(b + c + d = 4\): - \(b = 1, c = 2, d = 1\). - \(b = 2, c = 1, d = 1\). - \(b = 1, c = 1, d = 2\).

3. Возможные значения \(w + x + y = 4\): - \(w = 1, x = 1, y = 2\). - \(w = 1, x = 2, y = 1\). - \(w = 2, x = 1, y = 1\).

4. Возможные значения \(x + y + z = 4\): - \(x = 1, y = 2, z = 1\). - \(x = 2, y = 1, z = 1\). - \(x = 1, y = 1, z = 2\).

Теперь давайте рассмотрим возможные варианты, удовлетворяющие условиям задачи.

1. Катя: \(a = 1, b = 1, c = 2, d = 4 - (a + b + c) = 4 - 4 = 0\). Лена: \(w = 2, x = 1, y = 1, z = 4 - (w + x + y) = 4 - 4 = 0\).

2. Катя: \(a = 1, b = 2, c = 1, d = 4 - (a + b + c) = 4 - 4 = 0\). Лена: \(w = 1, x = 2, y = 1, z = 4 - (w + x + y) = 4 - 4 = 0\).

3. Катя: \(a = 2, b = 1, c = 1, d = 4 - (a + b + c) = 4 - 4 = 0\). Лена: \(w = 1, x = 1, y = 2, z = 4 - (w + x + y) = 4 - 4 = 0\).

Таким образом, во всех вариантах получается, что все числа, написанные Катей и Леной, равны нулю. Это невозможно для натуральных чисел, так как натуральные числа начинаются с 1. Следовательно, задача не имеет решения среди натуральных чисел.