Question

Здравствуйте, помогите пожалуйста! Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М1(3;4;-5) параллельно двоим векторам а1(3;1;-1) и а2(1;-2;1)

Answer 1

Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М1(3;4;-5) параллельно двум векторам а1(3;1;-1) и а2(1;-2;1)

Решение.

Поскольку вектор, равный векторному произведению векторов a1 и a2, перпендикулярен плоскости векторов a1 и a2, то он будет также перпендикулярен искомой плоскости. То есть вектор N = [a1,a2] является нормальным для плоскости P. Найдем этот вектор:

i         j        k|       i        j

3        1       -1|       3       1

1       -2        1|       1      -2 = 1i - 1j - 6k - 3j - 2i - 1k = -1i - 4j - 7k.

Получили нормальный вектор искомой плоскости:

N = [a1,a2]  = (-1; -4; -7).

Теперь можно найти уравнение плоскости P, по формуле  

A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0, как плоскости, проходящей через точку M(3,4,-5) перпендикулярно  вектору N¯=(-1, −4, -7):

-1(x−3)−4(y−4)-7(z+5)=0⇒

-x + 3 – 4y + 16 – 7z – 35 = 0⇒

-x – 4y – 7z – 16 = 0⇒

x + 4y + 7z + 16 = 0.

Answer 2

Привет! Для того чтобы составить уравнение плоскости, которая проходит через точку \( M_1(3;4;-5) \) и параллельна двум векторам \( \mathbf{a}_1(3;1;-1) \) и \( \mathbf{a}_2(1;-2;1) \), мы можем воспользоваться общим уравнением плоскости.

Общее уравнение плоскости имеет вид: \[ Ax + By + Cz = D \]

Так как плоскость проходит через точку \( M_1(3;4;-5) \), мы можем подставить эти координаты в уравнение: \[ A \cdot 3 + B \cdot 4 + C \cdot (-5) = D \]

Также, поскольку плоскость параллельна векторам \( \mathbf{a}_1(3;1;-1) \) и \( \mathbf{a}_2(1;-2;1) \), нормаль к плоскости будет перпендикулярна этим векторам. Таким образом, вектор нормали \( \mathbf{n} \) будет коллинеарен векторному произведению данных векторов.

Векторное произведение векторов \( \mathbf{a}_1 \) и \( \mathbf{a}_2 \) можно вычислить следующим образом: \[ \mathbf{n} = \mathbf{a}_1 \times \mathbf{a}_2 \]

\[ \mathbf{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} \]

\[ \mathbf{n} = \left( i \cdot ((1)(1) - (-2)(-1)) - j \cdot (3 \cdot 1 - (-1) \cdot 1) + k \cdot (3 \cdot (-2) - (1)(1)) \right) \]

\[ \mathbf{n} = (i \cdot (-1) - j \cdot 4 + k \cdot (-7)) \]

\[ \mathbf{n} = -i - 4j - 7k \]

Теперь у нас есть нормаль \( \mathbf{n} \) к плоскости. Мы можем использовать коэффициенты \( A, B, C \) этого вектора в уравнении плоскости. Таким образом, уравнение плоскости примет вид: \[ -x - 4y - 7z = D \]

Теперь мы можем подставить координаты точки \( M_1(3;4;-5) \) для нахождения \( D \): \[ -(3) - 4(4) - 7(-5) = D \]

\[ -3 - 16 + 35 = D \]

\[ D = 16 \]

Итак, уравнение плоскости: \[ -x - 4y - 7z = 16 \]