Question

СРОЧНО!!!!!! Натуральное число n назовём хорошим, если это наименьшее натуральное число, для которого все гири набора 1,2,3,...,n граммов (каждая гиря встречается по разу) можно разложить на чаши двухчашечных весов так, чтобы уравновесить камень в 57 граммов. Какое наибольшее количество гирь при уравновешивании можно положить в чашу с камнем?

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Сначала заметим, что сумма 1+2+...+n+57 должна быть четным числом, чтобы камень и гирьки можно было разложить на две равных чаши.

Отсюда сумма S = 1+2+...+n должна быть нечетной.

Найдем, при каком минимальном n можно уравновесить камень весом 57 грамм.

n = 10: S = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55 < 57 - мало.

n = 11: S = 55 + 11 = 66 > 57. Но S четное, поэтому не подходит.

n = 12: S = 66 + 12 = 78 - опять четное.

n = 13: S = 78 + 13 = 91 - подходит. Попробуем разложить на чаши.

Масса на каждой чаше должна быть:

m = (91 + 57)/2 = 148/2 = 74

На одной чаше: 57 + 1+2+3+4+7 = 57 + 17 = 74

На второй чаше: 5+6+8+9+10+11+12+13 = 19+10+20+25 = 29+45 = 74

На одной чаше с камнем получилось 5 гирек: 1,2,3,4,7.

n = 14: S = 91 + 14 = 105 - подходит. Раскладываем на чаши.

m = (105 + 57)/2 = 162/2 = 81

На одной чаше: 57 + 1+2+3+4+5+9 = 57 + 24 = 81

На второй чаше: 6+7+8+10+11+12+13+14 = 20+15+10+11+25 = 45+36 = 81

На одной чаше с камнем получилось 6 гирек: 1,2,3,4,5,9

И мне кажется, что при увеличении n количество гирек на чаше с камнем может расти неограниченно.

Например, при n = 17: S = 153, m = (153+57)/2 = 210/2 = 105

На одной чаше: 57 + 1+2+3+4+5+6+7+9+11 = 57 + 28 + 20 = 105

На другой чаше: 8+10+12+13+14+15+16+17 = 30+30+30+15 = 105

На одной чаше с камнем получилось 9 гирек: 1,2,3,4,5,6,7,9,11.

И так далее.

Answer 2

Давайте рассмотрим условие задачи:

1. Нам нужно найти наименьшее натуральное число \( n \), для которого можно уравновесить камень в 57 граммов, используя гири из набора 1, 2, 3, ..., \( n \) граммов (каждая гиря встречается по разу) и двухчашечные весы.

2. Важно, чтобы это было наименьшее число \( n \).

3. Мы ищем наибольшее количество гирь, которые можно использовать при уравновешивании.

Давайте разберемся с этим. Первоначально, у нас есть 1, 2, 3, ..., \( n \) граммов. Мы должны найти такое \( n \), чтобы при уравновешивании весов камень в 57 граммов можно было сбалансировать.

Наименьшая сумма гирь, которую мы можем положить на весы, равна 1 + 2 + 3 + ... + \( n \). Мы ищем минимальное \( n \), при котором эта сумма будет не меньше 57.

Сумма первых \( k \) натуральных чисел равна \( \frac{k \cdot (k + 1)}{2} \). Таким образом, нам нужно найти минимальное \( n \), при котором \( \frac{n \cdot (n + 1)}{2} \geq 57 \).

Решим неравенство:

\[ \frac{n \cdot (n + 1)}{2} \geq 57 \]

Умножим обе стороны на 2:

\[ n \cdot (n + 1) \geq 114 \]

Раскроем скобки:

\[ n^2 + n \geq 114 \]

Получим квадратное неравенство:

\[ n^2 + n - 114 \geq 0 \]

Теперь найдем корни этого уравнения. Решения будут корни уравнения \( n^2 + n - 114 = 0 \). Используем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac \]

\[ D = 1^2 - 4(-114) = 1 + 456 = 457 \]

Корни будут:

\[ n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{457}}{2} \]

Так как \( n \) - натуральное число, нам подходит только положительный корень:

\[ n \approx \frac{-1 + \sqrt{457}}{2} \]

Так что наименьшее натуральное число \( n \), при котором условие задачи выполняется, около 9.89.

Таким образом, \( n = 10 \) является минимальным натуральным числом, при котором можно уравновесить камень в 57 граммов, используя гири из набора 1, 2, 3, ..., \( n \) граммов.

Теперь, чтобы определить, сколько гирь можно использовать, просто сложим первые 10 натуральных чисел:

\[ 1 + 2 + 3 + \ldots + 10 = \frac{10 \cdot (10 + 1)}{2} = 55 \]

Таким образом, при уравновешивании камня в 57 граммов можно использовать гири весом до 55 граммов.