Question

Составить уравнение прямой линии, которая проходит через точку М (-1; 7; 2) параллельно к линии пересечения плоскостей x + y + 4z = 0 и YOZ.

Answer 1

Даны  плоскости x + y + 4z = 0 и YOZ.

Уравнение плоскости YOZ имеет вид х = 0 или в общем виде

x + 0y + 0z + 0 = 0.

Плоскость α1 имеет нормальный вектор n1={A1, B1, C1}={1, 1, 4}.

Плоскость α2 имеет нормальный вектор n2={A2, B2, C2}={1, 0, 0}.

Направляющий вектор линии пересечения равен векторному произведению нормальных векторов пересекающихся плоскостей.

i         j         k|       i         j

1        1         4|       1        1

1        0        0|      1        0 = 0i + 4j + 0k - 0j - 0i - 1k = 0i + 4j - 1k.

Получили направляющий вектор линии пересечения плоскостей

(0; 4; -1).

Он же будет направляющим вектором для параллельной прямой, проходящей через точку М (-1; 7; 2).

Ответ: уравнение прямой (x + 1)/0 = (y - 7)/4 = (z - 2)/(-1).

Answer 2

Чтобы составить уравнение прямой линии, проходящей через точку \( M(-1, 7, 2) \) и параллельной линии пересечения плоскостей \( x + y + 4z = 0 \) и \( YOZ \), нужно выполнить следующие шаги.

1. Найдем направляющий вектор для прямой, параллельной линии пересечения плоскостей. Вектор нормали к плоскости \( x + y + 4z = 0 \) можно использовать в качестве направляющего вектора. В данном случае, вектор нормали будет \( \mathbf{n} = [1, 1, 4] \).

2. Теперь у нас есть направляющий вектор для прямой. Мы можем использовать этот вектор и заданную точку \( M(-1, 7, 2) \), чтобы составить параметрическое уравнение прямой.

Параметрическое уравнение прямой имеет вид: \[ \begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases} \] где \( (x_0, y_0, z_0) \) - координаты точки на прямой, а \( (a, b, c) \) - направляющий вектор.

В данном случае: \[ \begin{cases} x = -1 + t \\ y = 7 + t \\ z = 2 + 4t \end{cases} \] где \( t \) - параметр.

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку \( M(-1, 7, 2) \) и параллельной линии пересечения плоскостей \( x + y + 4z = 0 \) и \( YOZ \), имеет вид: \[ \begin{cases} x = -1 + t \\ y = 7 + t \\ z = 2 + 4t \end{cases} \]