Question

Найдите количество пар различных натуральных чисел x и y, удволетворяющих равенству x^2-2022x = y^2 - 2022y

Answer 1

Ответ:

2020 пар

(При условии, что

а) 0 - не является натуральным числом

б) пары (х, у) вида (1; 2021) и (2021; 1) считаются различными)

Пошаговое объяснение:

Преобразуем выражение:

${x}^{2} - 2022x = {y}^{2} - 2022y \\ {x}^{2} - {y}^{2} = 2022x - 2022y \\ (x - y)(x + y) = 2022(x - y)$

Последнее выражение равносильно следующей совокупности:

$\left[ \begin{array}{l}x - y = 0 \\x {+} y = 2022 \end{array} \right.{ < }{= }{>} \left[ \begin{array}{ll}x = y \\y = 2022 {- }x \end{array} \right.$

Проанализируем:

1. из верхнего уравнения совокупности следует, что любая пара х=у будет решением исходного уравнения. Однако нас просят найти пары различных натуральных чисел.

Следовательно, все пары х=у из требуемых решений следует исключить. Значит, нужных решений первое уравнение совокупности нам не даст.

2. Из нижнего уравнения мы видим, что любая пара х, у которая в сумме дает 2022 - будет также решением исходного уравнения. Однако в условии есть ограничения. Нам требуется, чтобы пара х, у:

- были различными

- были натуральными

Вот здесь возникает ряд вопросов:

а) Считается ли ноль натуральным числом? Дело в том, что в традиционной русской математической школе натуральными числами называется множество чисел

{1; 2; 3;...} и обозначается как N

В западной же системе множеством N нату- ральных чисел является {0; 1; 2; 3;...}.

б) Считать ли двумя или одной парой различных чисел, например, пары

(1; 2021) и (2021; 1)? Я склоняюсь к мнению, что считать, т.к. в смысле интерпретаций обозначения х и у могут не совпадать ( к примеру, х - это метры, а у - попугаи)

Итак, исходя из требований о том, что числа должны быть различные натуральные, очевидно, что

- ни одно из значений х, у не может быть больше чем 2022 (т.к. если одно из чисел будет больше - то второе должно быть отрицательным, что противоречит условиям)

- числа х и у должны быть различны, т.е

$\small \: x{ \neq}{y} \: < = > x {\neq}{2022 - }x \: {< =} { >} \begin{cases} x {\neq} 1011\\ {y}{\neq}{1011} \end{cases}$

Рассмотрим х. Из всего вышесказанного видим, что х может быть любым натуральным числом от 1 до 2021 кроме 1011

$x \in \{1,2,3,...1009,1010 \}\cup \{1012,1013,...2020,2021 \}$

Тогда вместе с у, равным 2022 - х, будет образовываться требуемая пара чисел.

Следовательно, таких пар различных натуральных чисел будет

2021-1 = 2020 пар чисел.

Ответ: 2020 пар

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение:

\[x^2 - 2022x = y^2 - 2022y\]

Переносим все члены в одну сторону:

\[x^2 - y^2 - 2022x + 2022y = 0\]

Факторизуем левую сторону, используя разность квадратов:

\[(x - y)(x + y) - 2022(x - y) = 0\]

Теперь мы можем выделить общий множитель \((x - y)\):

\[(x - y)(x + y - 2022) = 0\]

Итак, у нас есть два случая:

1. \(x - y = 0\), что означает, что \(x = y\). 2. \(x + y - 2022 = 0\), что означает, что \(x + y = 2022\).

Для первого случая мы можем подставить \(y = x\) обратно в исходное уравнение:

\[x^2 - 2022x = x^2 - 2022x\]

Это уравнение верно для любого \(x\), поэтому каждая пара \((x, x)\) является решением.

Для второго случая, мы можем представить \(y\) через \(x\):

\[y = 2022 - x\]

Теперь мы можем подставить это обратно в исходное уравнение:

\[x^2 - 2022x = (2022 - x)^2 - 2022(2022 - x)\]

Решив это уравнение, мы найдем значения \(x\) и \(y\).

Таким образом, общее количество пар \((x, y)\) удовлетворяющих уравнению \(x^2 - 2022x = y^2 - 2022y\) равно сумме количества решений в первом и втором случаях.