Question

Привести уравнение 5x2–3y2–10x–18y–37=0 к каноническому виду, определить тип кривой и сделать чертеж. ​

Answer 1

Дано уравнение 5x²–3y²–10x–18y–37=0.

Выделим полные квадраты.

5(x² - 2*x + 1) - 5 – 3(y²+2*3y + 9) + 27 – 37 = 0.

5(x - 1)² – 3(y + 3)² = 15. Разделим обе части уравнения на 15 и получаем уравнение гиперболы.

(5(x - 1)²/15) – (3(y + 3)²/15) = 15/15.

((x - 1)²/(√3)²) – ((y + 3)²/(√5)²) = 1.

Отсюда получаем значения полуосей:

- действительной a = √3, b = √5.

Подробности приведены во вложении.

Answer 2

Для приведения уравнения \(5x^2 - 3y^2 - 10x - 18y - 37 = 0\) к каноническому виду уравнения конуса, следует выполнить следующие шаги:

1. Сгруппировать переменные \(x\) и \(y\) в отдельные члены:

\[5x^2 - 10x - 3y^2 - 18y - 37 = 0.\]

2. Дополнить полные квадраты по \(x\) и \(y\). Для этого нужно добавить и вычесть половину коэффициента при \(x\) к квадратному члену с \(x\), и аналогично сделать для \(y\):

\[5(x^2 - 2x) - 3(y^2 + 6y) - 37 = 0.\]

Теперь добавим константы для завершения квадратных выражений:

\[5(x^2 - 2x + 1) - 3(y^2 + 6y + 9) - 37 + 5 - 27 = 0.\]

3. Упростить уравнение:

\[5(x - 1)^2 - 3(y + 3)^2 - 59 = 0.\]

Теперь у нас получилось уравнение конуса в канонической форме.

4. Разделить обе стороны на константу, чтобы уравнение было равным 1:

\[\frac{(x - 1)^2}{\frac{59}{5}} - \frac{(y + 3)^2}{\frac{59}{3}} = 1.\]

Теперь мы можем определить тип кривой. Если знаменатель перед \(x^2\) или \(y^2\) положителен, то это уравнение представляет гиперболу. В данном случае оба знаменателя положительны, следовательно, это уравнение представляет гиперболу.

5. Теперь мы можем нарисовать чертеж гиперболы. Однако, для полного чертежа необходимо также знать значения полуосей и центра гиперболы. В данном ответе эти значения не указаны, поэтому я предоставлю базовый шаблон:

\[ \frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1, \]

где \((h, k)\) - координаты центра гиперболы, \(a\) и \(b\) - длины полуосей.

Если у вас есть конкретные значения \(h, k, a\) и \(b\), вы можете использовать их для построения более точного чертежа.