Question

Свести заданное уравнение кривой второго порядка к каноническому виду, определить тип кривой и сделать рисунок -x^2-4x+2y-10=0

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$-x^2-4x+2y-10=0$

это уравнение кривой второго порядка вида

$\displaystyle a_{11}x^2+2a_{12}xy++2a_{13}x+a_{22}y^2+2a_{23}y+a_{33}=0$

Квадратичная форма B = - x²

Приведем квадратичную форму к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы

$\displaystyle B=\bigg \left \bigg | {{-1\quad 0} \atop {0 \qquad 0} \right. \bigg |$

Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы:

(-1 - λ)x + 0*y = 0

0*x + (0 - λ)y = 0

Характеристическое уравнение

λ² + λ = 0

Корни уравнения

$\displaystyle D=1^2-4*1*0 = 1\\\\\lambda_1=\frac{-1+1}{2*1} =0 \qquad \qquad \lambda_2=\frac{-1-1}{2*1} =1$

Поскольку   $\lambda_1 =0$  мы имеем уравнение параболы.

Выделяем полный квадрат

-1(x²+2*2x + 2²) +1*2² = -1(x+2)²+4

Теперь преобразуем уравнение

(x+2)² = 2(y-3)

Мы получили канонической вид параболы вида (x-x₀)² = 2p(y-y₀)

$(x+2)^2 = 2*1(y - 3)$    это парабола ветвями вверх (p>0), по

                                      направлению оси OY,  с вершиной в точке (-2; 3)

Answer 2

Для сведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду и определения типа кривой, давайте рассмотрим заданное уравнение:

-x^2 - 4x + 2y - 10 = 0

Шаг 1: Переносим линейные члены в одну сторону

Начнем с переноса линейных членов на одну сторону уравнения:

- x^2 - 4x + 2y = 10

Шаг 2: Группировка переменных

Теперь группируем переменные x и y в одну часть уравнения:

- (x^2 - 4x) + 2y = 10

Шаг 3: Завершение квадратного трехчлена

Завершим квадратный трехчлен, добавив и вычитая квадрат половины коэффициента при x (в данном случае -2):

- (x^2 - 4x + 4 - 4) + 2y = 10

Шаг 4: Факторизация квадратного трехчлена

Факторизуем квадратный трехчлен x^2 - 4x + 4:

- (x - 2)^2 - 4 + 2y = 10

Шаг 5: Упрощение уравнения

Упрощаем уравнение, объединяя константы:

(x - 2)^2 + 2y - 4 = 10

Шаг 6: Переносим константу на другую сторону

Переносим константу на другую сторону уравнения:

(x - 2)^2 + 2y = 14

Шаг 7: Упрощение уравнения

Упрощаем уравнение:

(x - 2)^2 = -2y + 14

Шаг 8: Делаем замену переменных

Для определения типа кривой, сделаем замену переменных, где новая переменная u = x - 2:

u^2 = -2y + 14

Шаг 9: Приводим уравнение к каноническому виду

Уравнение принимает канонический вид у = a(x - h)^2 + k, где (h, k) - координаты вершины и а - параметр, определяющий тип кривой.

Сравнивая исходное уравнение и канонический вид, можно сделать следующие выводы: - h = 2 (координата вершины) - k = 14 (координата вершины) - a = -2 (параметр, определяющий тип кривой)

Тип кривой: Парабола, так как a ≠ 0.

Шаг 10: Рисуем график

Давайте нарисуем график параболы с заданным уравнением:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-10, 14, 100) # Диапазон значений x
u = x - 2
y = (-2 * u**2) + 14 # Заменили переменную u на x - 2 в исходном уравнении

plt.plot(x, y, label='y = -2(x - 2)^2 + 14')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('График параболы')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

На этом графике будет изображена парабола с вершиной в точке (2, 14), открывающаяся вниз.

Надеюсь, эта информация была полезной! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.