Question

Решите неравенство (x-2)(x+8)^2(x-3)>0​

Answer 1

Ответ:

(-∞ ; -8)∪(-8; 2)∪( 3; + ∞)

Пошаговое объяснение:

(x-2)(x+8)^2(x-3)>0​

(х-2)(х-3)(х+8)^2>0

(х-2)(х-3)(х+8)^2 = 0

x-2 = 0           x-3 = 0           (x+8)^2 = 0

x= 2                x = 3               x = -8

   

__ +____-8_____+_____2 ____-_____3____+____    

все точки  под числами должны быть выколотые. Подставляем в неравенство из каждого промежутка произвольно выбранное число и считаем,какой будет знак в ответе ( плюс или минус)

Нас интересуют промежутки, на которых знак + , т к левая часть должна быть больше 0 ( по условию)

х ∈ (-∞ ; -8)∪(-8; 2)∪( 3; + ∞)

Answer 2

Чтобы решить это неравенство, мы можем использовать метод интервалов или метод знаков. Давайте рассмотрим оба метода.

Метод интервалов:

1. Найдем значения x, при которых каждый из трех множителей равен нулю:

(x - 2) = 0 => x = 2 (x + 8)^2 = 0 => x = -8 (x - 3) = 0 => x = 3

2. Построим интервалы на числовой прямой, используя найденные значения:

Интервал 1: (-∞, -8) Интервал 2: (-8, 2) Интервал 3: (2, 3) Интервал 4: (3, +∞)

3. Выберем по одной точке из каждого интервала и определим знак выражения (x - 2)(x + 8)^2(x - 3) в этих точках:

В интервале 1, например, возьмем x = -9: (-9 - 2)(-9 + 8)^2(-9 - 3) = (-11)(-1)^2(-12) = 132 > 0

В интервале 2, например, возьмем x = 0: (0 - 2)(0 + 8)^2(0 - 3) = (-2)(8)^2(-3) = -432 < 0

В интервале 3, например, возьмем x = 2.5: (2.5 - 2)(2.5 + 8)^2(2.5 - 3) = (0.5)(10.5)^2(-0.5) = -279.75 < 0

В интервале 4, например, возьмем x = 4: (4 - 2)(4 + 8)^2(4 - 3) = (2)(12)^2(1) = 288 > 0

4. Изучим знаки выражения в каждом интервале и определим, когда оно больше нуля:

В интервале 1 и интервале 3 выражение (x - 2)(x + 8)^2(x - 3) меньше нуля, так как оно отрицательное.

В интервале 2 и интервале 4 выражение (x - 2)(x + 8)^2(x - 3) больше нуля, так как оно положительное.

5. Итак, решением данного неравенства является объединение интервалов, в которых выражение больше нуля:

x ∈ (-8, 2) ∪ (3, +∞)

Метод знаков:

1. Запишем все три множителя в виде таблицы знаков, используя значения x = -∞, -8, 2 и 3:

| x | x - 2 | (x + 8)^2 | x - 3 | | --------- | ------- | --------- | ------- | | -∞ | - | + | - | | -8 | - | + | - | | 2 | + | + | - | | 3 | + | + | + | | +∞ | + | + | + |

2. Изучим знаки в каждом из трех множителей и определим знак выражения (x - 2)(x + 8)^2(x - 3) в зависимости от этих знаков:

- Если у нас есть нечетное количество отрицательных множителей, то выражение будет отрицательным. - Если у нас есть четное количество отрицательных множителей, то выражение будет положительным. - Если один из множителей равен нулю, то выражение будет равно нулю.

3. В данном случае, у нас есть два отрицательных множителя: (x - 2) и (x - 3), и один положительный множитель: (x + 8)^2. Значит, выражение (x - 2)(x + 8)^2(x - 3) будет отрицательным на интервале (2, 3).

4. Следовательно, решением неравенства будет интервал, на котором выражение положительно:

x ∈ (-8, 2) ∪ (3, +∞)

Таким образом, решение данного неравенства - это интервалы (-8, 2) и (3, +∞).