Question

X^2+y^2+z^2-2x-4y+8z+10=0 центр сферы и радиус

Answer 1

Дано уравнение сферы x²+y²+z²-2x-4y+8z+10=0.  

Найти центр сферы и радиус.

Выделяем полные квадраты.

(x² -2*1x + 1) – 1 + (y² - 2*2y + 4) - 4 + (z² + 2*4z + 16) – 16  + 10 = 0  

(x – 1)² + (y – 2)² + (z + 4)² = 11.

Центр в точке (1; 2; -4), радиус R = √11.

Answer 2

Дано уравнение сферы в общем виде: x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y + 8z + 10 = 0.

Чтобы найти центр сферы, нужно привести уравнение к каноническому виду (x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2, где (a, b, c) - координаты центра сферы, r - радиус.

Приведем уравнение к каноническому виду:

x^2 - 2x + y^2 - 4y + z^2 + 8z + 10 = 0.

Сначала сгруппируем переменные по типу:

(x^2 - 2x) + (y^2 - 4y) + (z^2 + 8z) = -10.

Теперь дополним квадраты полных квадратов (x-a)^2, (y-b)^2 и (z-c)^2:

(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) + (z^2 + 8z + 16) = -10 + 1 + 4 + 16.

(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z+4)^2 = 11.

Теперь уравнение имеет канонический вид, а коэффициенты при квадратах равны единице. Значит, центр сферы - точка (1, 2, -4), а радиус равен корню из 11.