Question

Даю 20 балов Дано трикутну піраміду SABC Точки М. Н. К і P - середини ребер SA, SC, BC i AB вiдповідно. Знайдіть периметр чотирикутника МHКР, якщо MP-8см, AC=32см

Answer 1

Ответ:

48 см

Пошаговое объяснение:

Отрезок PK будет средней линией в треугольнике АВС, а отрезок МH так же средняя линия но в треугольнике SAC. Отсюда следует, что Отрезки РК и МH будут параллельны АС, а значит и параллельны между собой. Аналогично рассуждая имеем, что SB||MP и SB||HK => MP||HK. Из признака параллелограмма следует, что четырехугольник МHКР параллелограмм. А из свойства средней линии следует, что РК=АС/2=32см/2=16см. Теперь нетрудно видеть что периметр МHКР равен (16+8)*2=24*4=48 см.

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі будемо використовувати факт, що точки М, Н, К і Р - це середини відповідних сторін трикутної піраміди SABC. Однак, для визначення периметру чотирикутника MHKR, нам спочатку потрібно визначити довжини сторін цього чотирикутника.

Позначимо довжини сторін чотирикутника MHKR так: MH = a, HK = b, KR = c, і RM = d.

Оскільки MP - медіана трикутника SAB, то за теоремою медіани можна визначити довжину MP:

\[MP^2 = \frac{1}{2}(MA^2 + MB^2) - \frac{1}{4}AB^2.\]

Оскільки MA = MB (так як М - середина AB), то вираз можна спростити:

\[MP^2 = \frac{1}{2}MA^2 - \frac{1}{4}AB^2.\]

Але MA - медіана трикутника SAC, тобто MA = \(\frac{1}{2}SC\).

\[MP^2 = \frac{1}{8}SC^2 - \frac{1}{4}AB^2.\]

За аналогічними розрахунками можна визначити, що \(SC = \frac{1}{2}BC\).

\[MP^2 = \frac{1}{32}BC^2 - \frac{1}{4}AB^2.\]

Оскільки AB і BC - сторони трикутника SBC, а SC - медіана, то ми можемо використовувати ту саму логіку, щоб знайти \(BC^2\):

\[BC^2 = \frac{1}{2}(SB^2 + SC^2) - \frac{1}{4}SC^2.\]

Так як SB = SC (М - середина BC), ми отримуємо:

\[BC^2 = \frac{3}{4}SC^2.\]

Підставимо це у вираз для \(MP^2\):

\[MP^2 = \frac{1}{32} \cdot \frac{3}{4} \cdot SC^2 - \frac{1}{4}AB^2.\]

\[MP^2 = \frac{3}{128}SC^2 - \frac{1}{4}AB^2.\]

Тепер, маючи вираз для \(MP^2\), ми можемо використовувати його для знаходження довжин сторін чотирикутника MHKR.

Оскільки AC - сторона трикутника SBC, і точка N - середина AC, то NC = \(\frac{1}{2}AC\), і ми можемо записати:

\[NH = \frac{1}{2}NC = \frac{1}{4}AC.\]

Оскільки MP - медіана трикутника SAB, то за аналогією можна записати:

\[HK = \frac{1}{4}BC.\]

Тепер, ми можемо записати вираз для довжини сторони чотирикутника MHKR:

\[a = MH = MP - PH = MP - NH = MP - \frac{1}{4}AC,\]

\[b = HK,\]

\[c = KR,\]

\[d = RM = MP + PH = MP + NH = MP + \frac{1}{4}AC.\]

Тепер, ми можемо виразити MHKR через MP і AC:

\[MHKR = a + b + c + d = \left(MP - \frac{1}{4}AC\right) + HK + KR + \left(MP + \frac{1}{4}AC\right).\]

Підставимо вирази для HK та KR:

\[MHKR = 2MP + \frac{1}{4}AC + \frac{1}{4}BC.\]

Оскільки ми знаємо, що AC = 32 см, із попередніх розрахунків ми можемо знайти BC:

\[BC^2 = \frac{3}{4}SC^2 = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4}BC^2,\]

\[BC^2 = \frac{3}{16}BC^2,\]

\[BC = \frac{4}{\sqrt{3}}.\]

Тепер підставимо ці значення в вираз для MHKR:

\[MHKR = 2MP + \frac{1}{4} \cdot 32 + \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{3}}.\]

Також, нам дано, що MP = 8 см:

\[MHKR = 16 + 8 + \frac{1}{\sqrt{3}}.\]

Отже, периметр чотирикутника MHKR дорівнює \(24 + \frac{1}{\sqrt{3}}\) см.