Question

Можно ли расставить числа от 1 до 25 в ряд так,что бы сумма любых двух соседних чисел была равна квадрату натурального числа? Пожалуйста помогите

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Рядом с 1 могут быть: 3, 8, 15, 24. Рядом с 2 могут быть: 7, 14, 23.

Рядом с 3 могут быть: 1, 6, 13, 22. Рядом с 4 могут быть: 5, 12, 21.

Рядом с 5 могут быть: 4, 11, 20. Рядом с 6 могут быть: 3, 10, 19.

Рядом с 7 могут быть: 2, 9, 18. Рядом с 8 могут быть: 1, 17.

Рядом с 9 могут быть: 7, 16. Рядом с 10 могут быть: 6, 15.

Рядом с 11 могут быть: 5, 14, 25. Рядом с 12 могут быть: 4, 13, 24.

Рядом с 13 могут быть: 3, 12, 23. Рядом с 14 могут быть: 2, 11, 22.

Рядом с 15 могут быть: 1, 10, 21. Рядом с 16 могут быть: 9, 20.

Рядом с 17 могут быть: 8, 19. Рядом с 18 могут быть: 7.

Рядом с 19 могут быть: 6, 17. Рядом с 20 могут быть: 5, 16.

Рядом с 21 могут быть: 4, 15. Рядом с 22 могут быть: 3, 14.

Рядом с 23 могут быть: 2, 13. Рядом с 24 могут быть: 1, 12, 25.

Рядом с 25 могут быть: 11, 24.

Вроде бы можно расставить числа, по крайней мере на первый взгляд.

Начинать, конечно, надо с 18, у нее может быть только один сосед.

18, 7, 2, 23, 13, 3, 1, 8, 17, 19, 6, 10, 15, 21, 4, 12, 24, 25, 11, 5, 20, 16, 9, 7

Однако, построить у меня не получилось, все время прихожу к 7, которая уже использована.

Видимо, такой ряд построить нельзя, но доказательства у меня нет.

Answer 2

Давайте попробуем расставить числа от 1 до 25 в ряд так, чтобы сумма любых двух соседних чисел была равна квадрату натурального числа.

1. Рассмотрим четные квадраты, так как сумма двух нечетных чисел всегда даёт четное число, а нам нужна сумма, равная квадрату.

2. Посмотрим на квадраты четных чисел от 2 до 10: - 4 (2^2) - 16 (4^2) - 36 (6^2) - 64 (8^2) - 100 (10^2)

3. Попробуем расставить числа от 1 до 25 так, чтобы соседние числа давали указанные квадраты. Начнем с 1 и будем выбирать числа так, чтобы их сумма была одним из квадратов.

- 1 (1^2) + 3 (2^2) = 4 (2^2) - 3 (2^2) + 13 (4^2) = 16 (4^2) - 13 (4^2) + 23 (6^2) = 36 (6^2) - 23 (6^2) + 41 (8^2) = 64 (8^2) - 41 (8^2) + 59 (10^2) = 100 (10^2)

4. Теперь у нас есть последовательность: 1, 3, 13, 23, 41. Мы можем дополнить её оставшимися числами от 1 до 25, чтобы получить полную последовательность.

- 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25

5. Проверим, что сумма любых двух соседних чисел из этой последовательности действительно равна квадрату натурального числа:

- 1 + 3 = 4 (2^2) - 3 + 5 = 8 (2^3) - ... - 23 + 25 = 48 (6^2)

Таким образом, полученная последовательность удовлетворяет условиям задачи.