Question

Дана функция f(x)=ln(e^x+e^-x). Найдите производную f(х).

Answer 1

Ответ:

(e^x-e^-x)/(e^x+e^-x))

Пояснение:

Производная равна:

(1/(e^x+e^-x))*(e^x-e^-x)

здесь в первой скобке 1/(аргумент логарифма) а во второй произодна аргумента логарифма.

или, что то же самое

(e^x-e^-x)/(e^x+e^-x))

Answer 2

Для нахождения производной функции f(x) = ln(e^x + e^(-x)) мы можем воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции.

Найдем производную внутренней функции g(x) = e^x + e^(-x):

Для этого применим правило дифференцирования экспоненциальной функции. По этому правилу, если у нас есть функция h(x) = e^x, то h'(x) = e^x. Также, если у нас есть функция k(x) = e^(-x), то k'(x) = -e^(-x).

Таким образом, производная внутренней функции g(x) = e^x + e^(-x) будет равна: g'(x) = e^x - e^(-x).

Применяем правило дифференцирования сложной функции:

По правилу дифференцирования сложной функции, если у нас есть функция f(x) = ln(g(x)), то f'(x) = g'(x) / g(x).

Применим это правило к нашей функции f(x) = ln(e^x + e^(-x)):

f'(x) = (e^x - e^(-x)) / (e^x + e^(-x)).

Таким образом, производная функции f(x) равна (e^x - e^(-x)) / (e^x + e^(-x)).

Обратите внимание, что данная производная может быть упрощена. Если мы умножим числитель и знаменатель на e^x, то получим:

f'(x) = (e^x * e^x - e^x * e^(-x)) / (e^x * e^x + e^x * e^(-x)).

Сократив подобные слагаемые, мы получим:

f'(x) = (e^(2x) - 1) / (e^(2x) + 1).

Таким образом, производная функции f(x) равна (e^(2x) - 1) / (e^(2x) + 1).