Question

Нехай Х та Y незалежні в.в. рівномірно розподілені на [0,2]. Знайти функцію розподілу для  max(X,Y).

Answer 1

Ответ:

$F_{\max(X,Y)}(t)=\left\{\begin{array}{c}0,x$

Пошаговое объяснение:

Обозначим функцию распределения СВ $X,Y$ через $F(t)=F_X(t)=F_Y(t)=\left\{\begin{array}{c}0,x$

Обозначим $Z=\max(X,Y)$.

По определению функции распределения

$F_Z(t)=P(Z$

Т.к. $X,Y$ независимы, то и события $X$ также независимы:

$(*)=P(X$

Значит,

$F_Z(t)=\left\{\begin{array}{c}0,x$

Answer 2

Для знаходження функції розподілу для max(X, Y), де X та Y є незалежними випадковими величинами, рівномірно розподіленими на інтервалі [0, 2], ми можемо скористатися властивостями розподілу максимуму двох незалежних випадкових величин.

Функція розподілу для max(X, Y):

Для знаходження функції розподілу для max(X, Y), ми можемо розглянути два випадки: 1. Якщо x ≤ y, то max(X, Y) = y. 2. Якщо x > y, то max(X, Y) = x.

Випадок 1: x ≤ y

У цьому випадку, функція розподілу для max(X, Y) буде рівна функції розподілу Y, оскільки max(X, Y) буде дорівнювати Y.

Випадок 2: x > y

У цьому випадку, функція розподілу для max(X, Y) буде рівна функції розподілу X, оскільки max(X, Y) буде дорівнювати X.

Загальна функція розподілу:

Отже, загальна функція розподілу для max(X, Y) буде сумою функцій розподілу у двох випадках: - Якщо x ≤ y, функція розподілу буде рівна функції розподілу Y. - Якщо x > y, функція розподілу буде рівна функції розподілу X.

Функція розподілу для max(X, Y) = - F(x) = F_Y(x), якщо x ≤ y - F(x) = F_X(x), якщо x > y

Де F_Y(x) - функція розподілу Y, а F_X(x) - функція розподілу X.

Це є загальна формула для функції розподілу max(X, Y) в даному випадку.

[[1]]