Question

ДАЮ 100 БАЛЛОВ Старшие брат и сестра втянули Малыша в авантюру и уговорили его сыграть с ними в игру на невыгодных для него условиях: за каждую победу Малыш получает 1 очко, а за каждое поражение Малыша соперники получают 6 очков. Узнав о вопиющей несправедливости, Карлсон решил подыграть Малышу (о методах оказания помощи история умалчивает), и в результате Малыш одержал 215 побед, а его брат и сестра – 9 побед (т.е. счёт матча был 2 1 5 : 5 4 в пользу Малыша). Найдите вероятность того, что в любой момент времени в течение игры счёт был в пользу Малыша (кроме начала, когда счёт 0 : 0 ). Считается, что все последовательности побед и поражений равновозможны.​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Будем изображать победу Малыша в виде белого шара, а победу оппонентов в виде красного. Расположим эти шары по кругу, всего 469+35=504 шара. Среди них один укажем случайно, и с него начнём читать цвета шаров по часовой стрелке. Ясно, что этим моделируется случайная расстановка 469 белых и 35 красных шаров. Надо найти число удачных шаров (заведомо белых). Это означает, что если с них начать отсчёт, то баланс всегда будет в пользу Малыша.

Заменим красный шар на 8 чёрных. Теперь получается 469 белых шара против 280 чёрных, и разность составляет 189. В задаче по ссылке показано, что именно это количество белых шаров оказываются удачными. Таково же оно и в ситуации с белыми и красными шарами.

Остаётся разделить 189 = 9 * 21 на 504 = 9 * 56, что после сокращения даёт 3/8. Видно, что числа тут подобраны не кое-как.

Answer 2

To find the probability that the score was in favor of the child at any given moment during the game, we need to consider the total number of possible sequences of wins and losses for both the child and the siblings. Since all sequences of wins and losses are equally likely, we can calculate the probability by dividing the number of favorable sequences by the total number of possible sequences.

Let's break down the problem step by step:

1. Determine the total number of possible sequences: - The child played a total of 215 games, and each game had two possible outcomes: a win or a loss. - Therefore, the total number of possible sequences is 2^215, as each game can have two possible outcomes.

2. Determine the number of favorable sequences: - The child won 215 games, and the siblings won 9 games. - We need to find the number of sequences where the child was leading at any given moment during the game. - To do this, we can consider the number of ways the child's wins can be distributed among the total number of games played. - We can use combinations to calculate this. The formula for combinations is nCr = n! / (r!(n-r)!), where n is the total number of games and r is the number of games won by the child. - In this case, n = 215 and r can vary from 1 to 215.

3. Calculate the probability: - The probability of the score being in favor of the child at any given moment during the game is the ratio of the number of favorable sequences to the total number of possible sequences.

Now let's calculate the probability using the information provided:

Total Number of Possible Sequences:

The total number of possible sequences is 2^215.

Number of Favorable Sequences:

To find the number of favorable sequences, we need to calculate the sum of combinations for each possible number of games won by the child (r).

favorable_sequences = sum(nCr(215, r)) for r = 1 to 215

Probability:

The probability is calculated by dividing the number of favorable sequences by the total number of possible sequences.

probability = favorable_sequences / (2^215)

Please note that calculating the exact probability for such a large number of games may not be feasible due to computational limitations. However, the approach outlined above provides a theoretical framework for calculating the probability.