Question

Cos(x)+√3sin(x)=0 решите уравнение 40 баллов

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle x=-\frac{\pi }{6} +\pi n$ , n∈Z

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle cos(x)+\sqrt{3}sin(x)=0|:cos(x)\neq 0$

$\displaystyle 1+\sqrt{3}tg(x)=0$

$\displaystyle \sqrt{3}tg(x)=-1|:\sqrt{3}$

$\displaystyle tg(x)=-\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\displaystyle x=arctg(-\frac{\sqrt{3} }{3} )+\pi n$ , n∈Z

$\displaystyle x=-\frac{\pi }{6} +\pi n$ , n∈Z

Answer 2

Конечно, решим уравнение \( \cos(x) + \sqrt{3} \sin(x) = 0 \).

Для начала, преобразуем уравнение, чтобы выразить одну из тригонометрических функций через другую. Мы знаем, что \( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \). Также, \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \) и \( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Подставим значения синуса и косинуса углов \( 60^\circ \) и \( 30^\circ \) в уравнение \( \cos(x) + \sqrt{3} \sin(x) = 0 \):

\[ \cos(x) + \sqrt{3} \sin(x) = \cos(x) + \sqrt{3} \cdot \cos\left(x - 60^\circ\right) \]

Теперь мы можем переписать уравнение:

\[ \cos(x) + \sqrt{3} \cdot \cos\left(x - 60^\circ\right) = 0 \]

Пользуясь формулой для суммы косинусов \( \cos(A + B) = \cos(A)\cos(B) - \sin(A)\sin(B) \), мы можем выразить \( \cos\left(x - 60^\circ\right) \) через \( \cos(x) \):

\[ \cos\left(x - 60^\circ\right) = \cos(x)\cos(60^\circ) + \sin(x)\sin(60^\circ) \] \[ \cos\left(x - 60^\circ\right) = \frac{1}{2}\cos(x) + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(x) \]

Подставим это выражение обратно в уравнение:

\[ \cos(x) + \sqrt{3} \cdot \left(\frac{1}{2}\cos(x) + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(x)\right) = 0 \]

Упростим это уравнение:

\[ \cos(x) + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos(x) + \frac{3}{2}\sin(x) = 0 \] \[ \frac{3}{2}\cos(x) + \frac{3}{2}\sin(x) = 0 \] \[ \cos(x) + \sin(x) = 0 \]

Теперь давайте рассмотрим, когда \( \cos(x) + \sin(x) = 0 \). Для нахождения решений этого уравнения нам потребуется использовать тригонометрические свойства.

Мы знаем, что \( \cos(45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Подставим эти значения:

\[ \cos(45^\circ) + \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \neq 0 \]

Таким образом, уравнение \( \cos(x) + \sqrt{3}\sin(x) = 0 \) не имеет решений в диапазоне от \( 0 \) до \( 2\pi \).