Question

Помогите пожалуйста Даны вершины тетраэдра A, B, C, D (-3 ;5 ;-1) (-2; 3; 2) (0 ;1; -2) (-1; 1; -1) а) с помощью векторов найти длину высоты, проведённой из вершины А б)составить уравнение плоскости BCD и найти расстояние от точки А до плоскости BCD

Answer 1

Даны вершины тетраэдра A(-3 ;5 ;-1), B(-2; 3; 2), C(0 ;1; -2), D(-1; 1; -1).

а) с помощью векторов найти длину высоты, проведённой из вершины А.

б)составить уравнение плоскости BCD и найти расстояние от точки А до плоскости BCD.

Оба вопроса имеют один смысл:  длина высоты из вершины А – это расстояние от точки А до плоскости BCD.

В первую очередь находим уравнение плоскости BCD.

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xB              y - yB             z – zB

xC – xB          yC - yB          zC – zB

xD – xB         yD – yB           zD - zB = 0

Подставим данные и упростим выражение:

x - (-2)            y – 3                 z – 2

0 - (-2)            1 – 3                (-2) – 2

(-1) - (-2)         1 – 3               (-1) - 2 = 0

x - (-2)             y – 3              z – 2

  2                     -2                  -4

 1                      -2                  -3 = 0

(x - (-2))(-2·(-3)-(-4)·(-2)) – (y – 3)(2·(-3)-(-4)·1) + (z – 2)(2·(-2)-(-2)·1) = 0

(-2)x - (-2) + 2y - 3 + (-2)z - 2 = 0

- 2x + 2y - 2z - 6 = 0 и после сокращения на (-2) получаем

уравнение плоскости BCD: x - y + z + 3 = 0.

Далее есть три варианта определения расстояния от точки А до плоскости BCD.

1) Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 используем формулу:

d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D|/√(A² + B² + C²)

Подставим в формулу данные:

d = |1·(-3) + (-1)·5 + 1·(-1) + 3|/√(1² + (-1)² + 1²) =

   = |-3 - 5 - 1 + 3|/√(1 + 1 + 1) =

   = 6/√3 = 2√3 ≈ 3.4641.

2) Надо найти проекцию точки А на плоскость BCD. Пусть это точка Е.

Находим уравнение прямой АЕ.

Нормальный вектор плоскости BCD равен (1; -1; 1) и является направляющим вектором перпендикуляра к плоскости.

Получаем уравнение перпендикуляра из точки A(-3; 5; -1).

АЕ:((x + 3)/1 = (y - 5)/(-1) = ((z + 1)/1.

Координаты, которые имеет точка Е пересечения  x,y,z, должны удовлетворять уравнению прямой и уравнению плоскости. Поэтому, для их определения, необходимо решить систему уравнений, которая включает уравнение прямой и уравнение плоскости. Это система:

{((x + 3)/1 = (y - 5)/(-1) = ((z + 1)/1.

{x - y + z + 3 = 0.

Уравнение прямой представим в параметрическом виде.

((x + 3)/1 = (y - 5)/(-1) = ((z + 1)/1 = t,

x + 3 = 1*t ,      x = t - 3,

y – 5 = (-1)*t,   y = -t + 5,

z + 1 = 1*t,       z = t - 1.

Подставим переменные в уравнение плоскости x-y+z+3=0.

t - 3 -(-t + 5) + t - 1 + 3 = 0,

3t = 6,

t =  6/3 = 2.

Подставим значение t в выражения переменных.

x =  2 – 3 = -1,  

y = -2 + 5 = 3,

z =  2 - 1 = 1.

Найдена точка E пересечения перпендикуляра из точки А и плоскости ВСD, она же является проекцией точки A на заданную плоскость.

Ответ: Е(-1; 3; 1).

Находим длину отрезка АЕ.

АЕ = (-1-(-3); 3-5; 1-(-1) = (2; -2; 2).

d = √(2² + (-2)² + 2²) = √(4 + 4 + 4) = √12 = 2√3.

3) Получим нормальное уравнение плоскости BCD x - y + z + 3 = 0. Для этого нам нужно привести общее уравнение плоскости к нормальному виду. Определив нормирующий множитель  1/√(1^2+(-1)^2+1^2 )=1/√3  , получаем нормальное `уравнение плоскости 1/√3·x-1/√3·y+1/√3·z+1/√3·3=0.   

Осталось вычислить значение левой части полученного уравнения при координатах точки А(-3; 5; -1)  и взять модуль полученного значения – это даст искомое расстояние от точки  до плоскости:

|AE|=1/√3·(-3)-1/√3·5+1/√3·(-1)+1/√3·3=6/√3=2√3.

Answer 2

Для начала, давайте найдем векторы AB, AC и AD, исходя из данных вершин тетраэдра. Вектор AB: AB = B - A = (-2, 3, 2) - (-3, 5, -1) = (-2 + 3, 3 - 5, 2 - (-1)) = (1, -2, 3)

Вектор AC: AC = C - A = (0, 1, -2) - (-3, 5, -1) = (0 + 3, 1 - 5, -2 - (-1)) = (3, -4, -1)

Вектор AD: AD = D - A = (-1, 1, -1) - (-3, 5, -1) = (-1 + 3, 1 - 5, -1 - (-1)) = (2, -4, 0)

Высота, проведенная из вершины А

Высота, проведенная из вершины А, будет перпендикулярна плоскости BCD. Поэтому, чтобы найти длину высоты, нам нужно найти проекцию вектора AD на нормаль к плоскости BCD.

Нахождение нормали к плоскости BCD

Чтобы найти нормаль к плоскости BCD, возьмем два вектора, например, BC и BD, и найдем их векторное произведение.

Вектор BC: BC = C - B = (0, 1, -2) - (-2, 3, 2) = (0 + 2, 1 - 3, -2 - 2) = (2, -2, -4)

Вектор BD: BD = D - B = (-1, 1, -1) - (-2, 3, 2) = (-1 + 2, 1 - 3, -1 - 2) = (1, -2, -3)

Векторное произведение BC и BD

Найдем векторное произведение BC и BD, чтобы получить нормаль к плоскости BCD.

BC × BD = (2, -2, -4) × (1, -2, -3)

Вычислим векторное произведение:

(2, -2, -4) × (1, -2, -3) = (2*(-3) - (-2)*(-2), (-4)*1 - 2*(-3), 2*(-2) - (-2)*1) = (-6 - 4, -4 + 6, -4 - 2) = (-10, 2, -6)

Таким образом, нормаль к плоскости BCD равна (-10, 2, -6).

Нахождение длины высоты

Чтобы найти длину высоты, нам нужно найти проекцию вектора AD на нормаль к плоскости BCD. Для этого мы можем использовать формулу проекции вектора на другой вектор:

проекция AD на нормаль = (AD · нормаль) / |нормаль|

где AD · нормаль - скалярное произведение векторов AD и нормаль, и |нормаль| - длина вектора нормали.

Расчет длины высоты

AD · нормаль = (2, -4, 0) · (-10, 2, -6) = 2*(-10) + (-4)*2 + 0*(-6) = -20 - 8 + 0 = -28

|нормаль| = √((-10)^2 + 2^2 + (-6)^2) = √(100 + 4 + 36) = √140 = 2√35

проекция AD на нормаль = (-28) / (2√35) = -14 / √35

Таким образом, длина высоты, проведенной из вершины А, равна -14 / √35.

Уравнение плоскости BCD

Чтобы составить уравнение плоскости BCD, нам понадобятся координаты трех точек, лежащих на этой плоскости. Мы можем использовать вершины B, C и D.

Уравнение плоскости можно записать в общем виде:

Ax + By + Cz + D = 0

где A, B, C и D - коэффициенты уравнения, а x, y и z - переменные координаты точки на плоскости.

Расчет коэффициентов уравнения

Для расчета коэффициентов уравнения, мы можем использовать одну из вершин плоскости, например, вершину B.

Подставим координаты вершины B в уравнение и решим его относительно A, B и C:

A*(-2) + B*3 + C*2 + D = 0

-2A + 3B + 2C + D = 0

Таким образом, коэффициенты A, B, C и D равны -2, 3, 2 и -D соответственно.

Расстояние от точки А до плоскости BCD

Чтобы найти расстояние от точки А до плоскости BCD, мы можем использовать формулу:

расстояние = |Ax + By + Cz + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)

Расчет расстояния

Подставим координаты точки А и коэффициенты уравнения в формулу:

расстояние = |(-2)*(-3) + 3*5 + 2*(-1) + D| / √((-2)^2 + 3^2 + 2^2)

= |-6 + 15 - 2 + D| / √(4 + 9 + 4)

= |7 + D| / √(17)

Таким образом, расстояние от точки А до плоскости BCD равно |7 + D| / √(17).

Пожалуйста, обратите внимание, что значение D в уравнении плоскости и расстоянии будет различаться, так как мы не указали точное значение для вершины D.