Question

X^2 + 4x - 4y + 8 = 0 найти координаты фокусов вершин центра и уравнение деректрис

Answer 1

(х+2)²-4+8=4у;

(х+2)²=4у-4;  (х+2)²=4*(у-1);

если обозначим у-1=у₁; х+2=х₁, то перенося начало координат в точку

(х₁;у₁), получим уравнение параболы

х₁²=4у₁ - каноническое уравнение.

2р=4⇒р=2; р/2=1; фокус F(0;р/2); F(0;1)

уравнение директрисы х=-р/2, т.е. х₁=-1, уравнение директрисы в старой системе координат имеет вид х+2=-1;  т.е. х=-3.

x² + 4x - 4y + 8 = 0⇒у=(х²/4)+х+2; координаты вершины

х₀=-b/2a=-1/(2*0.25)=-2; у₀=1-2+2=-1,

Answer 2

Для начала, давайте разберемся с уравнением, которое вы предоставили:

X^2 + 4x - 4y + 8 = 0

Нахождение координат вершин параболы

Для того чтобы найти координаты вершин параболы, нужно привести уравнение к каноническому виду. Канонический вид уравнения параболы имеет следующий вид: (x-h)^2 = 4p(y-k), где (h,k) - координаты вершины параболы и p - фокусное расстояние.

1. Сначала приведем уравнение к каноническому виду. Для этого нужно завершить квадрат:

X^2 + 4x - 4y + 8 = 0 X^2 + 4x + 4 = 4y - 8 (X^2 + 4x + 4) = 4(y - 2) (X + 2)^2 = 4(y - 2)

2. Теперь мы можем идентифицировать координаты вершины параболы. В данном случае, (h,k) = (-2, 2).

Нахождение координат фокусов параболы

Для нахождения координат фокусов параболы, нам понадобится значение фокусного расстояния (p). В каноническом виде уравнения параболы, фокусное расстояние связано с коэффициентом перед (y-k), оно равно |1/(4p)|.

В нашем случае, из уравнения (X + 2)^2 = 4(y - 2), мы видим, что 4p = 4, откуда следует, что p = 1.

Таким образом, фокусы параболы будут симметричны относительно вершины параболы и будут располагаться на расстоянии p по вертикальной оси (вверх и вниз от вершины).

Координаты фокусов будут: - Фокус 1: (-2, 2 + 1) = (-2, 3) - Фокус 2: (-2, 2 - 1) = (-2, 1)

Нахождение уравнения директрисы параболы

Уравнение директрисы параболы имеет вид x = h - p, где (h,k) - координаты вершины параболы, а p - фокусное расстояние.

В нашем случае, (h,k) = (-2, 2) и p = 1. Подставляя значения в уравнение, получаем:

x = -2 - 1 x = -3

Таким образом, уравнение директрисы параболы будет x = -3.

Ответ:

Координаты вершины параболы: (-2, 2) Координаты фокусов параболы: (-2, 3) и (-2, 1) Уравнение директрисы параболы: x = -3