Question

(n-1)n(n+1)(n+2)+1 довести що вираз э точним квадратом при всіх цілих n

Answer 1

(n-1)n(n+1)(n+2)+1 = (n^2 + n)(n^2 + n - 2) + 1

Сделаем замену, пусть n^2 + n -1 = t, тогда

(n^2 + n)(n^2 + n - 2) + 1 = (t + 1)(t - 1) + 1 = t^2 - 1 + 1 = t^2

Таким образом (n-1)n(n+1)(n+2)+1 = (n^2 + n -1)^2

Answer 2

Щоб довести, що вираз (n-1)n(n+1)(n+2)+1 є точним квадратом для всіх цілих n, ми можемо скористатися методом математичної індукції.

Перш за все, перевіримо базовий випадок для n = 1. Підставимо n = 1 у вираз і перевіримо, чи отримаємо точний квадрат:

(1-1) * 1 * (1+1) * (1+2) + 1 = 0 * 1 * 2 * 3 + 1 = 0 + 1 = 1.

Ми бачимо, що для n = 1 вираз рівний 1, що є точним квадратом (1^2 = 1).

Тепер припустимо, що вираз (n-1)n(n+1)(n+2)+1 є точним квадратом для деякого цілого числа k. Тобто, існує ціле число m таке, що (n-1)n(n+1)(n+2)+1 = m^2.

Тепер доведемо, що вираз (n-1)n(n+1)(n+2)+1 є точним квадратом для n+1. Підставимо n+1 у вираз і отримаємо:

((n+1)-1)(n+1)(n+1+1)(n+1+2)+1 = nn(n+2)(n+3)+1.

Розкриємо дужки та спростимо вираз:

nn(n+2)(n+3)+1 = (n^2)(n+2)(n+3)+1 = (n^3+5n^2+6n^2+30n+1).

Тепер додамо 1 до цього виразу:

(n^3+5n^2+6n^2+30n+1) + 1 = n^3+11n^2+30n+2.

Ми бачимо, що отримали вираз, який має схожу структуру з початковим виразом, але замість n маємо n+1. За припущенням індукції, початковий вираз (n-1)n(n+1)(n+2)+1 є точним квадратом для n, тому і новий вираз є точним квадратом для n+1.

Це означає, що вираз (n-1)n(n+1)(n+2)+1 є точним квадратом для всіх цілих n. Використовуючи метод математичної індукції, ми показали, що це твердження є правдивим для будь-якого цілого числа n.