Question

Найти производную функции y=x^(1/lnx)​

Answer 1

Ответ:

Метод логарифмического дифференцирования .

$y=x^{\frac{1}{lnx}}$

Прологарифмируем обе части уравнения  и найдём производные от левой и правой частей уравнения .

$lny=ln(x^{\frac{1}{lnx}})\ \ ,\ \ \ lny=\dfrac{1}{lnx}\cdot lnx\\\\\dfrac{y'}{y}=\dfrac{-\frac{1}{x}}{ln^2x}\cdot lnx+\dfrac{1}{lnx}\cdot \dfrac{1}{x}\\\\\\y'=y\cdot \Big(-\dfrac{1}{x\cdot lnx}+\dfrac{1}{x\cdot lnx}\Big)=x^{\frac{1}{lnx}}\cdot 0=0$

Answer 2

Для нахождения производной функции \(y = x^{1/\ln x}\), воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепного правила).

Дана функция: \[y = x^{1/\ln x}\]

Обозначим \(u = x\) и \(v = \frac{1}{\ln x}\), тогда \(y = u^v\).

Найдем производные \(u'\) и \(v'\): \[u' = 1\] \[v' = -\frac{1}{(\ln x)^2} \cdot \frac{1}{x}\]

Теперь применим цепное правило: \[y' = u' \cdot v \cdot u^{v-1} + v' \cdot u^v\]

Подставим значения: \[y' = 1 \cdot \frac{1}{\ln x} \cdot x^{1/\ln x - 1} - \frac{1}{(\ln x)^2} \cdot \frac{1}{x} \cdot x^{1/\ln x}\]

Упростим: \[y' = \frac{1}{\ln x} \cdot x^{1/\ln x - 1} - \frac{1}{(\ln x)^2} \cdot x^{1/\ln x}\]

Если необходимо, можно провести дополнительные преобразования, но это уже зависит от конкретных требований задачи.