Question

Решите уравнение: log3(x-1)+log3 x=2

Answer 1

Ответ:

$x = \frac{1 + \sqrt{37} }{2}$

Пошаговое объяснение:

$log_{3}(x - 1) + log_{3}x = 2$

$log_{3}((x - 1) \times x) = 2 \\ log_{3}( {x}^{2} - x) = 2 \\ {x}^{2} - x = {3}^{2} \\ {x}^{2} - x - 9 = 0 \\ x_{1} = \frac{1 - \sqrt{37} }{2} \\ x_{2} = \frac{1 + \sqrt{37} }{2}$

ОДЗ:

х-1>0 х>1

х>0. х>0

=> х>1

$x_{1} = \frac{1 - \sqrt{37} }{2} < 1$

=> посторонний корень

Answer 2

Для решения уравнения \( \log_3(x-1) + \log_3(x) = 2 \), воспользуемся свойствами логарифмов.

1. Используем правило сложения логарифмов: \(\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(b \cdot c)\). \(\log_3(x-1) + \log_3(x) = \log_3((x-1) \cdot x)\).

Теперь уравнение примет вид: \(\log_3((x-1) \cdot x) = 2\).

2. Избавимся от логарифма, применив определение логарифма: если \(\log_a(b) = c\), то \(a^c = b\). \(3^2 = (x-1) \cdot x\).

3. Упростим уравнение:

\(9 = x^2 - x\).

Переносим все члены в одну сторону:

\(x^2 - x - 9 = 0\).

4. Теперь решим квадратное уравнение. Можно воспользоваться квадратным корнем или формулой:

\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\).

В данном случае \(a = 1\), \(b = -1\), \(c = -9\).

\(x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 36}}{2}\).

\(x = \frac{1 \pm \sqrt{37}}{2}\).

Таким образом, уравнение имеет два решения:

\[ x = \frac{1 + \sqrt{37}}{2} \] \[ x = \frac{1 - \sqrt{37}}{2} \]

Такие значения \(x\) удовлетворяют исходному уравнению \( \log_3(x-1) + \log_3(x) = 2 \).