Question

Для заданной функции y=f(x) y=3x-x^3 найдите: а)промежутки монотонности и экстремумы б)наиб и наим значение на отрезке [a;b]; г) промежутки выпуклости и точки перегиба

Answer 1

производная у'=3-3х²

а) 3-3х²=0 х=±1

_____-1_______1_______

-                   +              -

убывает функция на промежутках (-∞;-1]  и [1;+∞)

х=-1- точка минимума, минимум равен 3+1=4

х=1- точка максимума , максимум 3-1=2

б) вторая производная -6х=0х=0-точка перегиба.

______0______

+                    -

на (-∞;0) выпукла вниз, на (0;+∞) выпукла вверх. для решения б) нет концов отрезка. чтобы решить это задание, надо отобрать из критич. точек х=±1 те, которые входят в отрезок, найти значения функции в них и на концах отрезка в точках а и b  и выбрать из них самое большое и самое меньшее значения.

Answer 2

Для заданной функции y = f(x) = 3x - x^3 найдем:

а) Промежутки монотонности и экстремумы Чтобы найти промежутки монотонности и экстремумы функции, мы должны проанализировать ее производную. Давайте найдем производную функции f(x):

f'(x) = d/dx (3x - x^3) = 3 - 3x^2

Теперь мы можем найти точки, где производная равна нулю или не существует. Для этого решим уравнение:

3 - 3x^2 = 0

Решая это уравнение, мы получим два значения x: x = -1 и x = 1.

Теперь мы можем проверить знак производной на разных интервалах, чтобы определить промежутки монотонности функции:

* Для x < -1, f'(x) > 0, следовательно, функция возрастает на этом интервале. * Для -1 < x < 1, f'(x) < 0, следовательно, функция убывает на этом интервале. * Для x > 1, f'(x) > 0, следовательно, функция возрастает на этом интервале.

Теперь найдем экстремумы функции. Для этого проверим знак второй производной функции f''(x):

f''(x) = d^2/dx^2 (3 - 3x^2) = -6x

* При x = -1, f''(-1) = -6(-1) = 6 > 0, следовательно, это точка локального минимума. * При x = 1, f''(1) = -6(1) = -6 < 0, следовательно, это точка локального максимума.

б) Наибольшее и наименьшее значение на отрезке [a; b] Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [a; b], мы должны проанализировать значения функции на концах отрезка и в критических точках (то есть точках, где производная равна нулю или не существует).

В данном случае отрезок не задан, поэтому мы не можем найти конкретные значения наибольшего и наименьшего значения.

г) Промежутки выпуклости и точки перегиба Чтобы найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции, мы должны проанализировать значение второй производной f''(x).

Мы уже рассчитали вторую производную f''(x) = -6x. Теперь мы должны найти значения x, где f''(x) = 0 или не существует.

-6x = 0 x = 0

Таким образом, у нас есть одна точка перегиба при x = 0.

Теперь мы можем проанализировать знак второй производной на разных интервалах:

* Для x < 0, f''(x) > 0, следовательно, функция выпукла вниз на этом интервале. * Для x > 0, f''(x) < 0, следовательно, функция выпукла вверх на этом интервале.

Обратите внимание: Для более точных результатов и полного анализа функции, пожалуйста, укажите конкретные значения интервала [a; b].