Question

Упростите выражение: tg (1- sin a) (1 + sin a) ​

Answer 1

Відповідь:

$sin(\alpha )*cos(\alpha )$

Покрокове пояснення:

$tg(\alpha )(1- sin(\alpha )) (1 + sin (\alpha ))=tg(\alpha )(1-sin^2(\alpha ));\\\\sin^2(\alpha )+cos^2(\alpha )=1\\cos^2(\alpha ) = 1-sin^2(\alpha )\\\\tg(\alpha )(1-sin^2(\alpha ))=tg(\alpha )*cos^2(\alpha )=\frac{sin(\alpha )}{cos(\alpha )} *cos^2(\alpha )=sin(\alpha )*cos(\alpha )$

Answer 2

Для упрощения данного выражения, воспользуемся тригонометрическими тождествами.

Исходное выражение: tg(1 - sin a) + (1 + sin a)

Для начала, заменим tg(1 - sin a) на sin(1 - sin a) / cos(1 - sin a) согласно определению тангенса.

Теперь выражение примет вид: sin(1 - sin a) / cos(1 - sin a) + (1 + sin a)

Далее, раскроем скобки в числителе и знаменателе дроби, а также сложим числители:

(sin 1*cos sin a - cos 1*sin sin a) / (cos 1*cos sin a + sin 1*sin sin a) + (1 + sin a)

После этого, упростим числитель и знаменатель дроби, используя тригонометрические тождества.

Числитель: sin 1*cos sin a - cos 1*sin sin a = sin a*cos 1 - cos a*sin 1

Знаменатель: cos 1*cos sin a + sin 1*sin sin a = cos a*cos 1 + sin a*sin 1

Теперь выражение примет вид: (sin a*cos 1 - cos a*sin 1) / (cos a*cos 1 + sin a*sin 1) + (1 + sin a)

Далее, заменим sin a*cos 1 на sin(a + 1) и cos a*sin 1 на sin(a - 1) согласно формуле синуса суммы и разности углов.

Теперь выражение примет вид: (sin(a + 1) - sin(a - 1)) / (cos a*cos 1 + sin a*sin 1) + (1 + sin a)

Далее, раскроем скобки в числителе:

(sin a*cos 1*cos 1 - sin a*cos 1*sin 1) / (cos a*cos 1 + sin a*sin 1) + (1 + sin a)

Заменим sin a*cos 1*cos 1 на sin a*cos^2 1 и sin a*cos 1*sin 1 на sin a*sin^2 1 согласно формуле синуса произведения.

Теперь выражение примет вид: (sin a*cos^2 1 - sin a*sin^2 1) / (cos a*cos 1 + sin a*sin 1) + (1 + sin a)

Далее, факторизуем числитель дроби:

sin a*(cos^2 1 - sin^2 1) / (cos a*cos 1 + sin a*sin 1) + (1 + sin a)

Заменим cos^2 1 - sin^2 1 на cos 2 согласно тригонометрической формуле разности квадратов.

Теперь выражение примет вид: sin a*cos 2 / (cos a*cos 1 + sin a*sin 1) + (1 + sin a)

Далее, факторизуем знаменатель дроби:

sin a*cos 2 / (cos a*cos