Question

5ctg^2x+3ctgx-2<0 решите неравенствапомогите пожалуйста!!!​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Конечно, помогу с этим неравенством! Давайте разберём его по частям.

У вас есть неравенство \(5\cdot \text{ctg}^2x + 3\cdot \text{ctg}x - 2 < 0\). Для начала давайте введем замену, чтобы упростить запись. Обозначим \(\text{ctg}x\) как \(t\), тогда неравенство будет выглядеть следующим образом:

\[5t^2 + 3t - 2 < 0\]

Теперь нужно решить это квадратное неравенство относительно переменной \(t\). Самый простой способ это сделать - найти корни квадратного уравнения \(5t^2 + 3t - 2 = 0\) и использовать их для определения интервалов, на которых неравенство выполняется.

\[5t^2 + 3t - 2 = 0\]

Для нахождения корней можно воспользоваться формулой дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\):

\[D = 3^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49\]

Так как дискриминант положительный (\(D > 0\)), у нас есть два действительных корня:

\[t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{10} = \frac{-3 \pm 7}{10}\]

\[t_1 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}, \quad t_2 = \frac{-10}{10} = -1\]

Теперь давайте построим знаки функции \(5t^2 + 3t - 2\) на основе найденных корней.

Точки разбиения интервалов:

\(-1, \frac{2}{5}\)

Используем тестовую точку в каждом интервале:

1. Подставим \(t = -2\) (любое значение меньше \(-1\)): \[5(-2)^2 + 3(-2) - 2 = 20 - 6 - 2 = 12 > 0\] На этом интервале неравенство не выполняется.

2. Подставим \(t = 0\) (любое значение между \(-1\) и \(\frac{2}{5}\)): \[5(0)^2 + 3(0) - 2 = -2 < 0\] Неравенство выполняется на этом интервале.

3. Подставим \(t = 1\) (любое значение больше \(\frac{2}{5}\)): \[5(1)^2 + 3(1) - 2 = 5 + 3 - 2 = 6 > 0\] На этом интервале неравенство не выполняется.

Итак, получаем, что неравенство \(5t^2 + 3t - 2 < 0\) выполняется на интервале \(-1 < t < \frac{2}{5}\).

Но помним, что мы ввели замену \(t = \text{ctg}x\), так что теперь нам нужно вернуться к исходной переменной \(x\):

\(\text{ctg}x < \frac{2}{5}\)

Это уже дает нам информацию о том, что аргумент тангенса в пределах от \(x\) будет удовлетворять этому неравенству.