Question

Найдите sin(a/2), если sin(a) = 24/25, 0<a<π​

Answer 1

sin(a) = 2·sin(a/2)·cos(a/2) = 24/25

sin(a/2)·cos(a/2) = 12/25,

если 0<a<π, то 0<a/2<π/2 и cos(a/2) > 0, тогда

$\cos(\frac{a}{2}) = \sqrt{1 - \sin^2(a/2)}$

$\sin(\frac{a}{2})\cdot\sqrt{1 - \sin^2(a/2)} = \frac{12}{25}$

sin(a/2) = x,

x > 0, т.к. 0<a/2<π/2

$x\cdot\sqrt{1 - x^2} = \frac{12}{25}$

возведем в квадрат

$x^2\cdot(1 - x^2) = \frac{12^2}{25^2}$

x² = t,

$t\cdot(1 - t) = \frac{12^2}{25^2}$

$t - t^2 = \frac{12^2}{25^2}$

$t^2 - t + \frac{12^2}{25^2} = 0$

$D = 1^2 - 4\cdot\frac{12^2}{25^2} = 1 - \frac{4\cdot 144}{625} =$

$= \frac{625 - 576}{625} = \frac{49}{625} = (\frac{7}{25})^2$

$t = \frac{1\pm\frac{7}{25}}{2}$

$t_1 = \frac{25 - 7}{50} = \frac{18}{50} = \frac{9}{25}$

$t_2 = \frac{25+7}{50} = \frac{32}{50} = \frac{16}{25}$

1. $x^2 = \frac{9}{25}$

$x > 0$

$x = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$

2. $x^2 = \frac{16}{25}$

$x > 0$

$x = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$

Answer 2

Чтобы найти значение sin(a/2), если известно, что sin(a) = 24/25 и 0 < a < π, мы можем использовать половинный угол для синуса.

Половинный угол для синуса

Половинный угол для синуса — это формула, которая позволяет найти значение sin(x/2), зная значение sin(x). Формула выглядит следующим образом:

sin(x/2) = ±√((1 - cos(x))/2)

Знак (±) зависит от того, в какой четверти находится угол x. В данном случае, мы знаем, что sin(a) = 24/25 и 0 < a < π, что означает, что угол a находится в первой или второй четверти. Это позволяет нам определить знак в формуле для половинного угла синуса.

Вычисление sin(a/2)

Для вычисления sin(a/2), мы сначала должны найти cos(a) с использованием формулы:

cos(a) = ±√(1 - sin^2(a))

Затем, подставив найденное значение cos(a) в формулу для половинного угла синуса, мы можем вычислить sin(a/2). Давайте выполним эти вычисления:

1. Найдем cos(a):

cos(a) = ±√(1 - (24/25)^2) = ±√(1 - 576/625) = ±√(49/625) = ±7/25

Знак (±) выбирается в зависимости от того, в какой четверти находится угол a. Если a находится в первой четверти, то cos(a) положительное. Если a находится во второй четверти, то cos(a) отрицательное. В данном случае, так как 0 < a < π, угол a находится в первой четверти, поэтому cos(a) положительное, то есть cos(a) = 7/25.

2. Теперь, мы можем использовать найденное значение cos(a) для вычисления sin(a/2):

sin(a/2) = ±√((1 - cos(a))/2) = ±√((1 - 7/25)/2) = ±√((18/25)/2) = ±√(18/50) = ±√(9/25) = ±3/5

Знак (±) также выбирается в зависимости от того, в какой четверти находится угол a. В данном случае, так как a находится в первой четверти, sin(a/2) положительное, то есть sin(a/2) = 3/5.

Ответ

Таким образом, sin(a/2) = 3/5, если sin(a) = 24/25 и 0 < a < π.