Question

Найти промежутки роста и убывания функции y = x^4 - 8x^2 + 3

Answer 1

найдем производную данной функции. она равна  4х³- 16х, найдем критические точки из уравнения 4х³- 16х=0 ; 4х*(х²-4)=0, откуда х=0; х=±2

с помощью решения неравенства  4х*(х-2)(х+2)≥0 методом интервалов найдем знаки производной при переходе через критические точки.

_____-2________0______2______

-                     +                 -               +

при х∈(-∞;-2] и при х∈ [0;2] функция убывает,  а при х∈[-2;0] и при х∈[2;+∞) возрастает.

Answer 2

Для нахождения промежутков роста и убывания функции y = x^4 - 8x^2 + 3 необходимо найти ее производную и проанализировать ее знаки.

1. Найдем производную функции y по x: y' = 4x^3 - 16x

2. Решим уравнение y' = 0, чтобы найти критические точки функции: 4x^3 - 16x = 0 4x(x^2 - 4) = 0 x = 0, x = -2, x = 2

Таким образом, у нас есть три критические точки: x = 0, x = -2, x = 2.

3. Построим таблицу знаков производной в интервалах между критическими точками и на самых крайних интервалах:

Интервал (-∞, -2): x = -3: y' = 4(-3)^3 - 16(-3) = -108 + 48 = -60 (отрицательное значение) x = -1: y' = 4(-1)^3 - 16(-1) = -4 + 16 = 12 (положительное значение)

Интервал (-2, 0): x = -1: y' = 4(-1)^3 - 16(-1) = -4 + 16 = 12 (положительное значение) x = 1: y' = 4(1)^3 - 16(1) = 4 - 16 = -12 (отрицательное значение)

Интервал (0, 2): x = 1: y' = 4(1)^3 - 16(1) = 4 - 16 = -12 (отрицательное значение) x = 3: y' = 4(3)^3 - 16(3) = 108 - 48 = 60 (положительное значение)

Интервал (2, +∞): x = 3: y' = 4(3)^3 - 16(3) = 108 - 48 = 60 (положительное значение) x = 4: y' = 4(4)^3 - 16(4) = 256 - 64 = 192 (положительное значение)

4. Исходя из таблицы знаков производной, можем сделать следующие выводы:

- На интервале (-∞, -2) функция y убывает. - На интервале (-2, 0) функция y возрастает. - На интервале (0, 2) функция y убывает. - На интервале (2, +∞) функция y возрастает.

Таким образом, промежутки роста функции y = x^4 - 8x^2 + 3: (-2, 0) и (2, +∞), а промежутки убывания: (-∞, -2) и (0, 2).