Question

Помогите решить: Докажите, что выражение -1 делится на 997

Answer 1

Следует, во-первых, показать, что $997$ является простым числом. Делается это так: у любого составного числа $n$ есть хотя бы один делитель, отличный от единицы, не превосходящий $\sqrt{n}$. В самом деле, если такого делителя нет, то найдутся два делителя, больших $\sqrt{n}$, а это невозможно. Поэтому достаточно проверить наличие делителей от $2$ до $\lfloor \sqrt{997}\rfloor = 31$. Из них нужно проверять только простые: $2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31$, что сделать уже совсем нетрудно.

По малой теореме Ферма мы знаем, что $x^{996}\equiv 1\mod 997,\; x = \overline{1,996}$. $97^{498} \equiv (997-900)^{498}\equiv 900^{498} \equiv 9^{498}\cdot 100^{498}\equiv 3^{996}\cdot 10^{996}\equiv 1\mod 997$.

Answer 2

Divisibility of -1 by 997

To prove that the expression -1 is divisible by 997, we can use the fact that if a number is divisible by another number, then the remainder of the division is 0.

We can express the division of -1 by 997 as follows:

-1 ÷ 997

To prove that -1 is divisible by 997, we need to show that the remainder of this division is 0.

According to the Division Algorithm, any integer a can be expressed as a = q * b + r, where a is the dividend, b is the divisor, q is the quotient, and r is the remainder. If r = 0, then a is divisible by b.

In this case, we need to find the remainder when -1 is divided by 997.

Finding the Remainder

To find the remainder when -1 is divided by 997, we can use modular arithmetic. The remainder when -1 is divided by 997 can be expressed as:

-1 ≡ r (mod 997)

If r = 0, then -1 is divisible by 997.

Let's calculate the remainder using modular arithmetic:

-1 mod 997 = 996

As the remainder is 996, which is not equal to 0, we can conclude that -1 is not divisible by 997.

Conclusion: - The expression -1 is not divisible by 997.