Question

Решить дифференциальное уравнение x*y'+y+x=0

Answer 1

$\rm xy'+y=-x\\ \\ (x\cdot y)'=-x$

Проинтегрируем обе части уравнения:

$\rm xy=\displaystyle\int -x\,\,dx$

$\rm x\cdot y=-\dfrac{x^2}{2}+C\\ \\ y=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{C}{x}$

Ответ: $\rm y=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{C}{x}$

Answer 2

Дифференциальное уравнение, которое вы предоставили, является линейным уравнением первого порядка. Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать метод интегрирующего множителя.

Метод интегрирующего множителя

1. Начнем с дифференциального уравнения: ``` x*y' + y + x = 0 ```

2. Заметим, что это уравнение не является точным. Чтобы сделать его точным, мы можем умножить обе части на подходящий множитель. В данном случае, интегрирующий множитель будет обратным к функции `x`. Таким образом, умножим обе части на `1/x`: ``` (1/x) * (x*y') + (1/x) * y + (1/x) * x = 0 ```

3. Упростим уравнение: ``` y' + (1/x) * y + 1 = 0 ```

4. Теперь давайте проверим, является ли это уравнение точным. Для этого возьмем частные производные по `y` и `x`: ``` ∂(1/x)/∂y = 0 ∂(1/x)/∂x = -1/x^2 ```

Заметим, что эти производные не равны друг другу, поэтому уравнение не является точным.

5. Теперь мы можем применить метод интегрирующего множителя. Умножим уравнение на `e^∫(1/x)dx`, где `∫(1/x)dx` - интеграл от `1/x` по `x`: ``` e^∫(1/x)dx * y' + e^∫(1/x)dx * (1/x) * y + e^∫(1/x)dx * 1 = 0 ```

6. Упростим уравнение: ``` (e^∫(1/x)dx * y)' = 0 ```

7. Интегрируем обе части уравнения: ``` ∫(e^∫(1/x)dx * y)' dx = ∫0 dx ```

Получим: ``` e^∫(1/x)dx * y = C ```

Где `C` - произвольная постоянная.

8. Решим полученное уравнение относительно `y`: ``` y = C * e^(-∫(1/x)dx) ```

Где `∫(1/x)dx` - интеграл от `1/x` по `x`.

Таким образом, решение дифференциального уравнения `x*y' + y + x = 0` имеет вид `y = C * e^(-∫(1/x)dx)`, где `C` - произвольная постоянная.