Question

В школе есть три 9-ых класса, в каждом по 28 школьников. Найдите количество способов выбрать из них 5 школьников в команду на математический бой так, чтобы из каждого класса был выбран хотя бы один школьник.

Answer 1

Ответ:

Существует 19 707 408 способов выбрать 5 школьников в команду из трех девятых классов так чтобы из каждого класса был выбран хотя бы один школьник.

Объяснение:

Поставлена задача из трех 9-тых классов, в каждом из которых по 28 школьников, выбрать 5 школьников в команду на мероприятие, причем из каждого класса должен быть взят хотя бы один школьник.

1) Выбрать 5 учеников можно следующим образом.

- Взять из двух девятых классов по 2 ученика и  1 ученика из одного девятого класса. Таких вариантов 3.

2 2 1  (9А, 9Б, 9Г)

2 1 2  (9А, 9Б, 9Г)

1 2 2  (9А, 9Б, 9Г)

- Взять из двух девятых классов по 1 ученику и  3 ученика из одного девятого класса. Таких вариантов тоже 3.

3 1 1  (9А, 9Б, 9Г)

1 3 1  (9А, 9Б, 9Г)

1 1 3  (9А, 9Б, 9Г)

2) Выбрать 1 ученика из 28 школьников можно 28 способами.

3) Выбор 2 учеников из 28.
Порядок выбора не важен.

Например, если это будут выбраны Иванов - Петров, то выбор Петров - Иванов даст нам тот же результат.

Значит здесь мы имеем сочетания без повторений.

Число сочетаний без повторений из n элементов по k - это количество способов, которыми можно выбрать k элементов из n без учета порядка.

$\displaystyle C^{k} _{n} = \frac{n!}{k! (n-k)!}$

Найдем число способов выбрать 2 ученика из 28.

$\displaystyle C^{2} _{28} = \frac{28!}{2! (28-2)!}= \frac{26! \cdot 27 \cdot 28}{1 \cdot2 \cdot 26!}= 27 \cdot 14 = 378.$

Выбрать двух учеников из 28 можно 378 способами.

4) Выбор  трех школьников из 28 - это число сочетаний из 28 по 3 без повторений.

$\displaystyle C^{3} _{28} = \frac{28!}{3! (28-3)!}= \frac{25! \cdot26 \cdot 27 \cdot 28}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 25!}= 13\cdot 9 \cdot 28 = 3\;276.$

Выбрать трех учеников из 28 можно 3 276 способами.

• Закон умножения в комбинаторике: число сочетаний (способов, комбинаций) в независимых наборах умножается.

5) Вычислим, сколько способов взять из двух девятых классов по 2 ученика и  1 ученика из одного девятого класса, если таких вариантов 3.

3 · 378 · 378 · 28 = 12 002 256 (способов)

6) Вычислим, сколько способов взять из двух девятых классов по 1 ученику и  3 ученика из одного девятого класса, если таких вариантов 3.

3 · 28 · 28 · 3276 = 7 705 152 (способа).

• Закон сложения в комбинаторике: если два взаимоисключающих действия можно выполнить A и B способами соответственно, то эти события можно объединить. При этом возникнет новое событие, которое можно выполнить X = A + B способами.
  Или, при объединении взаимоисключающих действий (событий, вариантов) число их комбинаций складывается.

7) Найдем, количество способов выбрать из трех девятых классов 5 школьников в команду так, чтобы из каждого класса был выбран хотя бы один школьник.

12 002 256 + 17 705 152 = 19 707 408 (способов).

Итак, количество способов выбрать 5 школьников из трех девятых классов в команду так, чтобы из каждого класса был выбран хотя бы один школьник равно 19 707 408.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать принцип включения-исключения.

Сначала мы найдем общее количество способов выбрать 5 школьников из всех классов без каких-либо ограничений. Для этого мы будем использовать сочетания.

В каждом классе по 28 школьников, поэтому общее количество школьников в трех классах составляет 3 * 28 = 84.

Теперь мы выбираем 5 школьников из 84, используя сочетания: C(84, 5) = 84! / (5! * (84-5)!) = 84! / (5! * 79!) = (84 * 83 * 82 * 81 * 80) / (5 * 4 * 3 * 2 * 1) = 789360.

Теперь мы должны вычесть количество способов выбрать 5 школьников так, чтобы хотя бы один класс был исключен.

Предположим, что первый класс исключен. Тогда мы выбираем 5 школьников из 56 (84 - 28) школьников из двух классов: C(56, 5) = 56! / (5! * (56-5)!) = 56! / (5! * 51!) = (56 * 55 * 54 * 53 * 52) / (5 * 4 * 3 * 2 * 1) = 38616.

Так как есть три класса, то есть три способа исключить один из них. Поэтому мы должны вычесть 3 * 38616 = 115848 из общего количества способов.

Однако мы вычли дважды способы, когда два класса были исключены, поэтому мы должны добавить обратно количество способов выбрать 5 школьников из оставшихся 28 школьников (так как один класс уже исключен): C(28, 5) = 28! / (5! * (28-5)!) = 28! / (5! * 23!) = (28 * 27 * 26 * 25 * 24) / (5 * 4 * 3 * 2 * 1) = 98280.

Таким образом, мы должны добавить 98280 к полученному ранее результату.

Итак, общее количество способов выбрать 5 школьников в команду на математический бой так, чтобы из каждого класса был выбран хотя бы один школьник, составляет 789360 - 115848 + 98280 = 791792 способа.