Question

Найти частное решение уравнения (х^2+1) dy =2xydx где у0=2, x0=1

Answer 1

Ответ: y=x²+1.

Пошаговое объяснение:

Запишем уравнение в виде (x²+1)*dy-2*x*y*dx=0. Разделив его на произведение y*(x²+1), получим уравнение с разделёнными переменными: dy/y-2*x*dx/(x²+1)=0. Так как d(x²+1)=2*x*dx, то это уравнение можно переписать так: dy/y-d(x²+1)/(x²+1)=0. Интегрируя, получим: ln/y/-ln(x²+1)=ln/C/, где C- произвольная, но не равная нулю постоянная. Отсюда y/(x²+1)=C и y=C*(x²+1). Используя теперь условие y(x0)=y0=2, получаем уравнение 2=C*(1²+1), откуда C=1. Тогда искомое частное решение y=x²+1.  

Замечание: решением уравнения, очевидно, является также y=0, но это решение является тривиальным и мы его не пишем.

Answer 2

Для нахождения частного решения данного уравнения, мы будем использовать метод вариации постоянной.

Пусть у нас есть общее решение уравнения, записанное в виде y = C(x), где C(x) - произвольная функция, зависящая от x.

Теперь продифференцируем это уравнение по x:

dy/dx = C'(x)

Подставим это в исходное уравнение:

(x^2 + 1) * C'(x) = 2x * x * C(x)

Раскроем скобки:

x^2 * C'(x) + C'(x) = 2x^2 * C(x)

Сгруппируем по C(x) и C'(x):

C'(x) * (x^2 - 2x^2) = -C'(x) * x^2

Упростим:

C'(x) * (-x^2) = 0

Так как (-x^2) не равно нулю, получаем:

C'(x) = 0

Интегрируем обе части уравнения:

∫C'(x) dx = ∫0 dx

C(x) = K, где K - произвольная постоянная.

Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид:

y = C(x) = K

Теперь найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y(1) = 2, x(0) = 1.

Подставим эти значения в общее решение:

2 = K

Таким образом, частное решение уравнения имеет вид:

y = 2