Question

1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями ( сделать чертеж). y=cosx , y=0, x= - П/2 , x=П. 2. Пружина в спокойном состоянии имеет длину 0,25м. Сила в 40 Н растягивает ее на 0,01м. Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть ее от 0,3м до 0,4 м ? 3. Найти частное решение уравнения ( x^2 + 1)dy=2xydx , удовлетворяющее начальным условиям y0=2, x0=1. 4. Найти общее решение уравнения у" Зу' + 2у = 0 .

Answer 1

3. Уравнение с разделяющимися переменными
$\frac{2x\,dx}{x^2+1}= \frac{dy}{y};\, \int\frac{2x\,dx}{x^2+1}= \int\frac{dy}{y}; \ln|x^2+1|+C_1=\ln |y|;$
$y=C(x^2+1); 2=C\cdot 2;\, C=1.$
Тогда частное решение имеет вид
$y=x^2+1$

Answer 2

1. Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = cos(x), y = 0, x = -π/2 и x = π, можно построить график этих функций и найти площадь области, заключенной между ними.

Для начала, построим график функции y = cos(x):

^ | 1.0 | . | . | . | . 0.0 |_______________________________> -π/2 0 π/2

Затем, построим график функции y = 0, который представляет собой горизонтальную линию на оси x.

Далее, рассмотрим интервал x от -π/2 до π, и найдем точки пересечения графиков функций y = cos(x) и y = 0. Эти точки будут являться границами фигуры.

Точки пересечения: - Первая точка пересечения: x = -π/2, y = cos(-π/2) = 0 - Вторая точка пересечения: x = π/2, y = cos(π/2) = 0

Таким образом, фигура, ограниченная линиями y = cos(x), y = 0, x = -π/2 и x = π, представляет собой прямоугольник с нулевой высотой. Площадь такого прямоугольника равна 0.

2. Для решения данной задачи воспользуемся формулой для работы, которая определяется как произведение силы на перемещение. В данном случае, сила растяжения пружины равна 40 Н, а перемещение от 0,25 м до 0,4 м равно 0,4 м - 0,25 м = 0,15 м.

Тогда работа W, которую нужно совершить, будет равна: W = F * d = 40 Н * 0,15 м = 6 Дж

Таким образом, чтобы растянуть пружину от 0,3 м до 0,4 м, нужно совершить работу равную 6 Дж.

3. Для нахождения частного решения уравнения (x^2 + 1)dy = 2xydx, удовлетворяющего начальным условиям y0 = 2, x0 = 1, можно воспользоваться методом разделения переменных.

Разделим уравнение на обе части на (x^2 + 1): dy/dx = (2xy) / (x^2 + 1)

Теперь перенесем все y-термы на левую сторону, а x-термы на правую: dy / y = (2x dx) / (x^2 + 1)

Интегрируем обе части уравнения: ∫(1/y) dy = ∫(2x / (x^2 + 1)) dx

Интегрируя, получаем: ln|y| = ln|x^2 + 1| + C1

Применим экспоненту к обеим частям: |y| = e^(ln|x^2 + 1| + C1)

Так как C1 является произвольной постоянной, то можно записать ее как C2 = e^C1. Тогда получим: |y| = C2 * |x^2 + 1|

Теперь рассмотрим начальные условия y0 = 2, x0 = 1. Подставим их в уравнение: |2| = C2 * |1^2 + 1|

2 = C2 * 2

Отсюда получаем, что C2 = 1.

Таким образом, частное решение уравнения (x^2 + 1)dy = 2xydx, удовлетворяющее начальным условиям y0 = 2, x0 = 1, будет: y = x^2 + 1

4. Для нахождения общего решения уравнения у'' + 2у' + 2у = 0, можно воспользоваться методом характеристического уравнения.

Характеристическое уравнение: r^2 + 2r + 2 = 0

Решим это уравнение с помощью квадратного корня: r = (-2 ± √(2^2 - 4*1*2)) / 2 r = (-2 ± √(-4)) / 2 r = -1 ± i√2

Таким образом, получаем комплексные корни -1 + i√2 и -1 - i√2.

Общее решение будет иметь вид: y = C1 * e^(-1 + i√2)x + C2 * e^(-1 - i√2)x

Пользуясь формулой Эйлера, можно переписать общее решение в комплексной форме: y = C1 * e^(-x) * e^(i√2x) + C2 * e^(-x) * e^(-i√2x)

Используя тригонометрическую формулу Эйлера (e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)), получаем: y = C1 * e^(-x) * (cos(√2x) + i*sin(√2x)) + C2 * e^(-x) * (cos(√2x) - i*sin(√2x))

Далее, используя формулу Эйлера для суммы и разности (cos(A) + cos(B) = 2*cos((A+B)/2)*cos((A-B)/2), sin(A) + sin(B) = 2*cos((A-B)/2)*sin((A+B)/2)), можно переписать решение в следующем виде: y = e^(-x) * (A * cos(√2x) + B * sin(√2x))

Где A = C1 + C2, B = i(C1 - C2) - это произвольные постоянные.

Таким образом, общее решение уравнения y'' + 2y' + 2y = 0 будет иметь вид: y = e^(-x) * (A * cos(√2x) + B * sin(√2x))