Question

Докажите, что 9^30+6^19 делится на 7.

Answer 1

$9^{30}+6^{19} \equiv 2^{30}-1\mod 7$, а поскольку $2^{6} = 2^{\varphi(7)}\equiv 1 \mod 7$ по теореме Эйлера, то $2^{30}\equiv (2^{6})^{5} \equiv 1 \mod 7 \Leftrightarrow 2^{30}-1\equiv 0\mod 7$.

Answer 2

Для доказательства того, что число 9^30 + 6^19 делится на 7, мы можем использовать теорему о делении на 7.

Теорема о делении на 7 гласит, что если число abcdefg делится на 7, то число gfedcba также делится на 7.

В нашем случае, мы имеем число 9^30 + 6^19. Давайте разложим это число на сумму двух слагаемых: (9^30) + (6^19).

Для удобства, мы можем привести каждое слагаемое по модулю 7.

(9^30) ≡ (2^30) (по модулю 7)

Теперь мы можем использовать теорему о делении на 7 для числа 2^30.

(2^30) ≡ (2^3)^10 ≡ 8^10 ≡ 1^10 ≡ 1 (по модулю 7)

Таким образом, мы получили, что (9^30) ≡ 1 (по модулю 7).

Аналогично, мы можем разложить второе слагаемое:

(6^19) ≡ (6^3)^6 * 6 ≡ 216^6 * 6 ≡ 1^6 * 6 ≡ 6 (по модулю 7)

Таким образом, мы получили, что (6^19) ≡ 6 (по модулю 7).

Теперь мы можем сложить два полученных выражения:

(9^30) + (6^19) ≡ 1 + 6 ≡ 7 ≡ 0 (по модулю 7)

Таким образом, мы доказали, что число 9^30 + 6^19 делится на 7.