Question

Сторони паралелограма дорівнюють 4 і 4 см відповідно, а кут між ними складає 120°. Чому дорівнюють діагоналі паралелограма?

Answer 1

параллелограмм має дві рівні сторонці, меж якими кут 120° ⇒ це ромб.

якщо ми проведемо бісектрису у ромба, то отримаємо трикутник, у якого дві сторонці і кут між ними ⇒ треба використовати теорему косинусів щоб знайти першу діагональ

с²=а²+b²-2аb×сosα=4²+4²-2×4×4×cos120=4²+4²-2×4×4×(-0.5)=16+16+16=48 ⇒ с=√48=4√3

Зараз шукаєм площу  через довжини ромба ( тригонометрични значення кутов в геометріі тількі більше нуля,тому sin120=sin(180-120)=sin60=√3/2)  S=a²×sinα=4²×sin(120°)=16×√3÷2=8√3 см²

Площа ромба також доривнює половині добутку діагоналій

Тому друже діагональ ми знайдемо так

d₂=2S/d₁=2×8√3÷4√3=4 см

Відповідь: 4 і 4√3

Answer 2

Для розв'язання цього завдання використаємо властивості паралелограма.

У паралелограмі протилежні сторони рівні і паралельні. Тому, якщо одна сторона паралелограма дорівнює 4 см, то й протилежна сторона також дорівнює 4 см.

Також відомо, що кут між сторонами паралелограма складає 120°.

У паралелограмі діагоналі розділяються навпіл і перетинаються у точці, яка ділить кожну діагональ на дві рівні частини. Таким чином, діагоналі паралелограма є векторами, що починаються в одній точці і закінчуються в іншій точці паралелограма.

Оскільки кут між сторонами паралелограма складає 120°, то кут між діагоналями також складає 120°. Це означає, що діагоналі паралелограма утворюють рівнобедрений трикутник з кутом 120°.

В рівнобедреному трикутнику медіана, що проведена до основи, є висотою і поділяє основу на дві рівні частини. Таким чином, діагоналі паралелограма ділять одна одну навпіл.

Отже, діагоналі паралелограма мають однакову довжину і дорівнюють половині периметру паралелограма.

Периметр паралелограма складається з суми всіх його сторін. У нашому випадку, паралелограм має дві сторони довжиною 4 см, тому периметр дорівнює 2 * 4 см + 2 * 4 см = 16 см.

Таким чином, діагоналі паралелограма дорівнюють половині периметру, тобто 16 см / 2 = 8 см.