Question

При делении числа х на n остаток равен 13, а при делении числа у на n, остаток равен 11. Если число 3х + у делится на n без остатка, то чему может быть равен n? А) 10 Б) 15 В) 20 Г) 25 Помогите решить

Answer 1

Ответ:

А) 10 и Г) 25

Пошаговое объяснение:

При делении числа х на n остаток равен 13, значит, x=na+13

При делении числа у на n, остаток равен 11, значит, y=nb+11

Число 3х + у делится на n без остатка, т.е.

3x+y=3(na+13)+nb+11=3na+39+nb+11=n(3a+b)+50

По условию, 3x+y делится на n без остатка, т.е без остатка делится на n сумма  n(3a+b)+50. Значит, число 50 делится на число n без остатка.

Из представленных вариантов, подходят сразу два - это А) и Г) , т.к. 50 делится без остатка и на 10 и на 25. Т.е. n=10 или же n=25

Answer 2

Для решения этой задачи, нам нужно использовать теорему остатков. Она гласит, что если два числа дают одинаковые остатки при делении на некоторое число, то их разность делится на это число без остатка. То есть, если x % n = 13 и y % n = 11, то (x - y) % n = 0. Также, если произведение двух чисел делится на некоторое число без остатка, то и каждый из множителей делится на это число без остатка. То есть, если (3x + y) % n = 0, то и 3x % n = 0 и y % n = 0.

Из этих условий мы можем сделать следующие выводы:

- n не может быть равно 10, потому что тогда x % n = 3 и y % n = 1, что противоречит условию. - n не может быть равно 15, потому что тогда x % n = 13 и y % n = 11, что не удовлетворяет условию, что (3x + y) % n = 0. - n не может быть равно 20, потому что тогда x % n = 13 и y % n = 11, что также не удовлетворяет условию, что (3x + y) % n = 0. - n может быть равно 25, потому что тогда x % n = 13 и y % n = 11, что соответствует условию, что (x - y) % n = 0. Кроме того, (3x + y) % n = 0, потому что 3x % n = 14 и y % n = 11, а 14 + 11 = 25.

Таким образом, единственный возможный ответ — Г) 25.