Question

Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями: а) у = х2 + 2х + 1 і у = х + 3 б) у = 2/x, у = 1, х = 1

Answer 1

ответ на фото/////////////////////

Answer 2

а) Для обчислення площі фігури, обмеженої лініями у = х^2 + 2х + 1 і у = х + 3, потрібно знайти точки перетину цих двох ліній.

Спочатку прирівняємо дві функції: х^2 + 2х + 1 = х + 3

Перепишемо це рівняння у квадратній формі: х^2 + 2х + 1 - (х + 3) = 0 х^2 + 2х + 1 - х - 3 = 0 х^2 + х - 2 = 0

Розкладемо це квадратне рівняння на множники: (х - 1)(х + 2) = 0

Отримали два розв'язки: х = 1 і х = -2.

Підставимо ці значення х у рівняння у = х^2 + 2х + 1: для х = 1: у = 1^2 + 2 * 1 + 1 = 4 для х = -2: у = (-2)^2 + 2 * (-2) + 1 = 1

Отже, точки перетину ліній у = х^2 + 2х + 1 і у = х + 3 є (1, 4) і (-2, 1).

Тепер, щоб обчислити площу фігури, обмеженої цими двома лініями, треба знайти площу між ними. Це можна зробити, віднімаючи площу під кривою у = х^2 + 2х + 1 від площі під кривою у = х + 3.

Площа під кривою у = х^2 + 2х + 1 може бути обчислена за допомогою інтегралу: ∫[a,b] (х^2 + 2х + 1) dx, де a і b - це значення х, відповідно, для точок перетину ліній.

∫[1,-2] (х^2 + 2х + 1) dx = [1/3 * х^3 + х^2 + х] [1,-2] = (1/3 * (-2)^3 + (-2)^2 + (-2)) - (1/3 * 1^3 + 1^2 + 1) = (-8/3 + 4 - 2) - (1/3 + 1 + 1) = (-8/3 + 4/1 - 2/1) - (1/3 + 3/3 + 3/3) = (-8/3 + 12/3 - 6/3) - (1/3 + 3/3 + 3/3) = (-2/3) - (7/3) = -9/3 = -3

Отже, площа під кривою у = х^2 + 2х + 1 від х = 1 до х = -2 дорівнює -3.

Тепер обчислимо площу під кривою у = х + 3 від х = 1 до х = -2: ∫[1,-2] (х + 3) dx = [1/2 * х^2 + 3х] [1,-2] = (1/2 * (-2)^2 + 3 * (-2)) - (1/2 * 1^2 + 3 * 1) = (1/2 * 4 - 6) - (1/2 + 3) = (2 - 6) - (1/2 + 3) = -4 - (7/2) = -4 - 14/2 = -4 - 7 = -11

Таким чином, площа під кривою у = х + 3 від х = 1 до х = -2 дорівнює -11.

Тепер знайдемо площу фігури, обмеженої цими двома лініями, шляхом віднімання площі під кривою у = х^2 + 2х + 1 від площі під кривою у = х + 3: -3 - (-11) = 8

Отже, площа фігури, обмеженої лініями у = х^2 + 2х + 1 і у = х + 3, дорівнює 8 одиницям квадратних.

б) Для обчислення площі фігури, обмеженої лініями у = 2/х, у = 1 і х = 1, потрібно знайти точки перетину цих трьох ліній.

Почнемо з знаходження точки перетину ліній у = 2/х і у = 1: 2/х = 1 2 = х

Отже, точка перетину цих двох ліній є (2, 1).

Тепер знайдемо точку перетину ліній у = 2/х і х = 1: 2/х = 2 1 = х

Отже, точка перетину цих двох ліній є (1, 2).

Тепер знайдемо площу фігури, обмеженої цими трьома лініями. Це можна зробити, віднімаючи площу під кривою у = 2/х від площі під кривою у = 1, та додаючи площу прямокутника, утвореного відрізком х = 1.

Площа під кривою у = 2/х може бути обчислена за допомогою інтегралу: ∫[a,b] (2/х) dx, де a і b - це значення х, відповідно, для точок перетину ліній.

∫[2,1] (2/х) dx = [2ln|x|] [2,1] = 2ln|1| - 2ln|2| = 2 * 0 - 2ln|2| = -2ln|2|

Площа під кривою у = 1 може бути обчислена за допомогою інтегралу: ∫[a,b] (1) dx, де a і b - це значення х, відповідно, для точок перетину ліній.

∫[1,2] (1) dx = [x] [1,2] = 2 - 1 = 1

Площа прямокутника, утвореного відрізком х = 1, дорівнює його ширині, тобто 1.

Отже, площа фігури, обмеженої лініями у = 2/х, у = 1 і х = 1, дорівнює -2ln|2| + 1 одиницям квадратних.