Question

Дан треугольник ABC. Точки K и L — середины сторон AB и BC соответственно. Оказалось, что биссектрисы углов AKL и CLK пересекаются на отрезке AC. Найдите длину отрезка AC, если известно, что AB=17 и BC=22.

Answer 1

Ответ:

Длина отрезка АС равна 19,5 ед.

Пошаговое объяснение:

Требуется найти длину отрезка АС.

Дано: ΔАВС;

АК = КВ; BL = LC;

К ∈ АВ; L ∈ BC;

KM - биссектриса ∠AKL;

LM - биссектриса ∠CLK;

КМ ∩ LM = M; M ∈ AC;

AB = 17; BC = 22.

Найти: АС.

Решение:

Пусть угол АКМ равен углу 1, угол МКL равен углу 2, угол MLC равен углу 3, угол KLM равен углу 4, угол АМК равен углу 5, угол LMC углу 6.

1. Рассмотрим ΔАВС.

АК = КВ; BL = LC (условие)

• Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника называется средней линией треугольника.

⇒ КL - средняя линия ΔАВС (по определению)

Средняя линия треугольника соединяет середины двух его сторон и параллельна третьей стороне.

⇒ KL || AC  

2. Рассмотрим ΔАКМ

∠1 = ∠2 (KM - биссектриса ∠AKL)

∠5 = ∠2 (накрест лежащие при KL || AC и секущей КМ)

⇒ ∠1 = ∠5

• Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник - равнобедренный.

⇒ ΔАКМ - равнобедренный.

АМ = АК.

АМ = АК = КВ = АВ : 2 = 17 : 2 = 8,5 (ед.)

3. Рассмотрим ΔMLC.

∠3 = ∠4 (LM - биссектриса ∠CLK)

∠6 = ∠4 (накрест лежащие при KL || AC и секущей LМ)

⇒ ∠3 = ∠6.

ΔMLC - равнобедренный.

MC  = CL.

MC = CL = LB = BC : 2 = 22 : 2 = 11 (ед.)

4. АС = АМ + MC = 8,5 + 11 = 19,5 (ед.)

Отрезок АС равен 19,5 ед.

Answer 2

Для решения этой задачи давайте воспользуемся теоремой о биссектрисе треугольника.

Пусть точка пересечения биссектрис угла AKL и CLK обозначается как M. Тогда, согласно теореме о биссектрисе, отношение сторон треугольника AKL и CLK равно отношению отрезков, на которые биссектриса делит противоположную сторону. То есть, отношение AK/KL равно отношению AM/MC, и отношение CL/KL равно отношению CM/MA.

Так как K и L - середины сторон AB и BC соответственно, то KL = 1/2*AB = 1/2*17 = 8.5 и KL = 1/2*BC = 1/2*22 = 11.

Теперь мы можем составить уравнения, используя найденные отношения: AK/KL = AM/MC и CL/KL = CM/MA

Так как AK/KL = 1 (так как K - середина AB), то AM/MC = 1. Аналогично, так как CL/KL = 1 (так как L - середина BC), то CM/MA = 1.

Итак, мы получаем, что AM = MC и CM = MA. Это означает, что точка M является серединой отрезка AC.

Таким образом, длина отрезка AC равна сумме длин отрезков AB и BC: AC = AB + BC = 17 + 22 = 39.

Итак, длина отрезка AC равна 39.