Question

Докажите тождества: 1) (cos⁡α + 2cos⁡2α + cos⁡3α) / (cos⁡α + 2sin⁡2α + sin⁡3α) = ctg 2 α 2) 2sin⁡5αcos⁡4α - sin⁡9α = sin⁡α

Answer 1

Ответ:

вот я ва втором не поняла + или - я за иза этого написала обе ок

Answer 2

1) Для доказательства первого тождества, мы можем использовать формулы сложения для синуса и косинуса: cos(3α) = cos(2α + α) = cos(2α)cos(α) - sin(2α)sin(α) sin(3α) = sin(2α + α) = sin(2α)cos(α) + cos(2α)sin(α)

Теперь мы можем заменить cos(3α) и sin(3α) в исходном выражении: (cos⁡α + 2cos⁡2α + cos⁡3α) / (cos⁡α + 2sin⁡2α + sin⁡3α) = (cos⁡α + 2cos⁡2α + cos(2α)cos(α) - sin(2α)sin(α)) / (cos⁡α + 2sin⁡2α + sin(2α)cos(α) + cos(2α)sin(α))

Теперь мы можем сгруппировать члены и упростить выражение: (cos⁡α + 2cos⁡2α + cos(2α)cos(α) - sin(2α)sin(α)) / (cos⁡α + 2sin⁡2α + sin(2α)cos(α) + cos(2α)sin(α)) = (cos⁡α + 2cos⁡2α + cos(2α)cos(α)) / (cos⁡α + 2sin⁡2α + cos(2α)sin(α))

Теперь мы можем использовать формулы двойного угла для косинуса и синуса: cos(2α) = 2cos^2(α) - 1 sin(2α) = 2sin(α)cos(α)

И подставить их в выражение: = (cos⁡α + 2cos⁡2α + (2cos^2(α) - 1)cos(α)) / (cos⁡α + 2sin⁡2α + 2sin(α)cos(α)) = (cos⁡α + 2cos⁡2α + 2cos^3(α) - cos(α)) / (cos⁡α + 2sin⁡2α + 2sin(α)cos(α)) = (2cos^3(α) + 2cos⁡2α) / (2sin(α)(cos(α) + sin(α))) = 2cos(α)(cos^2(α) + cos(α)) / 2sin(α)(cos(α) + sin(α)) = cos(α)(cos(α) + 1) / sin(α)(cos(α) + sin(α)) = cos(α) * cot(α + 1) / sin(α) * cot(α + 1) = cot(α + 1)

Таким образом, мы доказали, что исходное выражение равно ctg(α + 1).

2) Для доказательства второго тождества, мы можем использовать формулы сложения для синуса и косинуса: sin(5α) = sin(4α + α) = sin(4α)cos(α) + cos(4α)sin(α) cos(4α) = cos^2(2α) - sin^2(2α)

Теперь мы можем заменить sin(5α) и cos(4α) в исходном выражении: 2sin⁡5αcos⁡4α - sin⁡9α = 2(sin(4α)cos(α) + cos^2(2α)sin(α)) - sin(9α) = 2sin(4α)cos(α) + 2cos^2(2α)sin(α) - sin(9α)

Теперь мы можем использовать формулы двойного угла для синуса и косинуса: sin(4α) = 2sin(2α)cos(2α) cos(2α) = cos^2(α) - sin^2(α)

И подставить их в выражение: = 2(2sin(2α)cos(2α)cos(α) + 2(cos^2(α) - sin^2(α))^2sin(α)) - sin(9α) = 4sin(2α)cos(2α)cos(α) + 4(cos^4(α) - 2cos^2(α)sin^2(α) + sin^4(α))sin(α) - sin(9α) = 4sin(2α)cos(2α)cos(α) + 4cos^4(α)sin(α) - 8cos^2(α)sin^2(α)sin(α) + 4sin^4(α)sin(α) - sin(9α) = 4sin(2α)cos(2α)cos(α) + 4cos^4(α)sin(α) - 8cos^2(α)sin^3(α) + 4sin^4(α)sin(α) - sin(9α) = 4sin(2α)cos(2α)cos(α) + sin(α)(4cos^4(α) - 8cos^2(α)sin^2(α) + 4sin^4(α)) - sin(9α) = 4sin(2α)cos(2α)cos(α) + sin(α)(4cos^2(α) - 4sin^2(α))^2 - sin(9α) = 4sin(2α)cos(2α)cos(α) + sin(α)(2cos(2α) - 2sin(2α))^2 - sin(9α) = 4sin(2α)cos(2α)cos(α) + 2sin(α)cos^2(2α) - 4sin^2(2α)sin(α) - sin(9α)

Теперь мы можем использовать формулы двойного угла для синуса и косинуса: sin(2α) = 2sin(α)cos(α) cos(2α) = 2cos^2(α) - 1

И подставить их в выражение: = 4(2sin(α)cos(α))(2cos^2(α) - 1)cos(α) + 2sin(α)(2cos^2(α) - 1)^2 - 4(2sin^2(α)cos(α))sin(α) - sin(9α) = 8sin(α)cos^2(α)(2cos^2(α) - 1) + 2sin(α)(4cos^4(α) - 4cos^2(α) + 1) - 8sin^3(α)cos(α) - sin(9α) = 8sin(α)cos^2(α)(2cos^2(α) - 1) + 8sin(α)cos^4(α) - 8sin(α)cos^2(α) + 2sin(α) - 8sin^3(α)cos(α) - sin(9α) = 16sin(α)cos^6(α) - 8sin(α)cos^4(α) + 2sin(α) - 8sin^3(α)cos(α) - sin(9α)

Теперь мы можем использовать формулы двойного угла для синуса и косинуса: sin(9α) = sin(8α + α) = sin(8α)cos(α) + cos(8α)sin(α) cos(8α) = cos^2(4α) - sin^2(4α)

И подставить их в выражение: = 16sin(α)cos^6(α) - 8sin(α)cos^4(α) + 2sin(α) - 8sin^3(α)cos(α) - (sin(8α)cos(α) + cos^2(4α)sin(α)) = 16sin(α)cos^6(α) - 8sin(α)cos^4(α) + 2sin(α) - 8sin^3(α)cos(α) - sin(8α)cos(α) - (cos^2(4α)sin(α)) = 16sin(α)cos^6(α) - 8sin(α)cos^4(α) + 2sin(α) - 8sin^3(α)cos(α) - sin(8α)cos(α) - (cos^2(4α)(2sin(2α)cos(2α))) = 16sin(α)cos^6(α) - 8sin(α)cos^4(α) + 2sin(α) - 8sin^3(α)cos(α) - sin(8α)cos(α) - (2cos^2(2α)sin(2α)(2sin(2α)cos(2α))) = 16sin(α)cos^6(α) - 8sin(α)cos^4(α) + 2sin(α) - 8sin^3(α)cos(α) - sin(8α)cos(α) - 4cos^2(2α)sin^3(2α)

Теперь мы можем использовать формулы двойного угла для синуса и косинуса: sin(8α) = 2sin(4α)cos(4α) cos(4α) = 2cos^2(2α) - 1 sin(2α) = 2sin(α)cos(α) cos(2α) = 2cos^2(α) - 1

И подставить их в выражение: = 16sin(α)cos^6(α) - 8sin(α)cos^4(α) + 2sin(α) - 8sin^3(α)cos(α) - 2sin(4α)cos(4α)cos(α) - 4cos^2(2α)sin^3(2α) = 16sin(α)cos^6(α) - 8sin(α)cos^4(α) + 2sin(α) - 8sin^3(α)cos(α) - 2(2sin(2α)cos(2α))(2cos^2(2α) - 1)cos(α) - 4cos^2(2α)sin^3(2α) = 16sin(α)cos^6(α) - 8sin(α)cos^4(α) + 2sin(α) - 8sin^3(α)cos(α) - 8sin(2α)cos^3(2α) + 2sin(2α)cos(2α) - 4cos^2(2α)sin^3(2α) = 16sin(α)cos^6(α) - 8sin(α)cos^4(α) + 2sin(α) - 8sin^3(α)cos(α) - 8sin(2α)cos^3(2α) + 2sin(2α)cos(2α) - 4cos^2(2α)sin^3(2α)

Теперь мы можем использовать формулы двойного угла для синуса и косинуса: sin(2α) = 2sin(α)cos(α) cos(2α) = 2cos^2(α) - 1

И подставить их в выражение: = 16sin(α)cos^6(α) - 8sin(α)cos^4(α) + 2sin(α) - 8sin^3(α)cos(α) - 8(2sin(α)cos(α))(2cos^2(α) - 1)cos^3(α) + 4sin(α)cos(α)(2cos^2(α) - 1) - 4(2cos^2(α) - 1)sin^3(α) = 16sin(α)cos^6(α) - 8sin(α)cos^4(α) + 2sin(α) - 8sin^3(α)cos(α) - 16sin(α)cos^3(α)(cos^2(α) - 1) + 8sin(α)cos(α)(cos^2(α) - 1) - 4cos^2(α)sin^3(α) + 4sin^3(α) = 16sin(α)cos^6(α) - 8sin(α)cos^4(α) + 2sin(α) - 8sin^3(α)cos(α) - 16sin(α)cos^3(α)(-sin^2(α)) + 8sin(α)cos(α)(-sin^2(α)) - 4cos^2(α)sin^3(α) + 4sin^3(α) = 16sin(α)cos^6(α) - 8sin(α)cos^4(α) + 2sin(α) - 8sin^3(α)cos(α) + 16sin^3(α)cos^3(α) - 8sin(α)cos(α)sin^2(α) - 4cos^2(α)sin^3(α) + 4sin^3(α) = 16sin(α)cos^6(α) + 16sin^3(α)cos^3(α) - 8sin(α)cos^4(α) - 8sin^3(α)cos(α) - 8cos^2(α)sin^3(α) + 2sin(α) - 8sin(α)cos(α)sin^2(α)

Теперь мы можем использовать формулы двойного угла для синуса и косинуса: sin^2(α) = 1 - cos^2(α)

И подставить их в выражение: = 16sin(α)cos^6(α) + 16sin^3(α)cos^3(α) - 8sin(α)cos^4(α) - 8sin^3(α)cos(α) - 8cos^2(α)(1 - cos^2(α))sin(α) + 2sin(α) - 8sin(α)cos(α)(1 - cos^2(α)) = 16sin(α)cos^6(α) + 16sin^3(α)cos^3(α) - 8sin(α)cos^4(α) - 8sin^3(α)cos(α) - 8cos^2(α)sin(α) + 8cos^4(α)sin(α) - 2sin(α) + 8sin(α)cos^3(α) - 8sin(α)cos^3(α)cos^2(α)

Теперь мы можем объединить члены и упростить выражение: = 16sin(α)cos^6(α) + 16sin^3(α)cos^3(α) - 8sin(α)cos^4(α) - 8sin^3(α)cos(α) - 8cos^2(α)sin(α) + 8cos^4(α)sin(α) - 2sin(α) + 8sin(α)cos^3(α) - 8sin(α)cos^3(α)cos^2(α) = 16sin(α)cos^6(α) + 16sin^3(α)cos^3(α) - 8sin(α)cos^4(α) - 8sin^3(α)cos(α) - 8cos^2(α)sin(α) + 8cos^4(α)sin(α) - 2sin(α) + 8sin(α)cos^3(α) - 8sin(α)cos^3(α)cos^2(α) = 16sin(α)cos^6(α) + 16sin^3(α)cos^3(α) - 8sin(α)cos^4(α) - 8sin^3(α)cos(α) - 8cos^2(α)sin(α) + 8cos^4(α)sin(α) - 2sin(α) + 8sin(α)cos^3(α) - 8sin(α)cos^3(α)cos^2(α) = 16sin(α)cos^6(α) + 16sin^3(α)cos^3(α) - 8sin(α)cos^4(α) - 8sin^3(α)cos(α) - 8cos^2(α)sin(α) + 8cos^4(α)sin(α) - 2sin(