Question

Антиквар приобрел 19 одинаковых по виду старинных монет. Ему сообщили, что среди них есть одна фальшивая монета, которая весит меньше настоящей (все настоящие весят одинаково). Можно ли за три взвешивания определить фальшивую монету, если анти- квар не разрешает никакую монету взвешивать более двух раз? помогите ​

Answer 1

Ответ:

Сначала положим на две чаши весов по 13 монет, затем (если весы находятся в равновесии) уберём их и положим по 11 из ещё не бравшихся, затем по 9,7,5,3 и 1 до тех пор, пока одна из чаш не перевесит. Если такого не произойдёт, то после седьмого взвешивания (когда на чашах весов будет всего по одной монете) останется всего одна монета, которая во взвешиваниях не участвовала. Она и является фальшивой. Если при каком-то взвешивании какая-то чаша перевесила, значит фальшивая монета лежит в другой чаше. Общее количество монет в этой чаше обозначим 2k+1 (мы каждый раз кладём на одну чашу нечётное число монет), при этом мы уже использовали 7-k взвешиваний, причём каждая монета взвешивалась не более одного раза. Поэтому осталось найти фальшивую монету в группе из (2k+1) монет за k взвешиваний, взвешивая каждую монету не более одного раза. Для этого можно разбить все монеты в группе, кроме одной, разбить на k пар и последовательно сравнивать веса монет каждой пары. Если при каком-то взвешивании равновесие нарушится, то более лёгкая монета и является фальшивой. В противном случае, фальшивая монета - оставшаяся без пары.

Answer 2

Да, можно определить фальшивую монету за три взвешивания. Вот как это можно сделать:

Шаг 1:

Разделим 19 монет на 3 группы по 6 монет в каждой группе. Взвесим первые две группы монет.

Шаг 2:

Если веса двух групп монет совпадают, то фальшивая монета находится в третьей группе, которую мы еще не взвешивали. Взвесим две монеты из третьей группы.

- Если веса этих двух монет совпадают, то фальшивая монета - третья монета из третьей группы, которую мы не взвешивали. - Если веса этих двух монет отличаются, то фальшивая монета - та, которая имеет меньший вес.

Шаг 3:

Если веса двух групп монет не совпадают, то фальшивая монета находится в одной из двух групп, которые мы взвешивали. Взвесим две монеты из группы, которая имеет меньший вес.

- Если веса этих двух монет совпадают, то фальшивая монета - третья монета из группы, которую мы не взвешивали. - Если веса этих двух монет отличаются, то фальшивая монета - та, которая имеет меньший вес.

Таким образом, за три взвешивания можно определить фальшивую монету, не нарушая правило о взвешивании каждой монеты не более двух раз.

Примечание: Этот метод основан на использовании баланса и делении монет на группы для сравнения их весов.