Question

В прямоугольнике 1(<=x<=2), 0(<=y<=2) наугад выбирают точку. Какова вероятность того, что ее координаты удовлетворяют соотношению xy(<=2)?

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Необходимая вероятность будет=

= отношению площадей на которые

делит гипербола у=2/х

Находим определенный интеграл

от 2/хdx от 1 до 2

Площадь =2×0,693

прямоугольник площадь 2

вероятность= 2×0,693/2=0,693

Answer 2

Вероятность того, что координаты выбранной точки в прямоугольнике удовлетворяют соотношению xy ≤ 2, можно вычислить, разделив площадь области, где выполняется это соотношение, на общую площадь прямоугольника.

Вычисление площади области, где выполняется соотношение xy ≤ 2:

Для того чтобы найти площадь области, где выполняется соотношение xy ≤ 2, нужно найти границы этой области. В данном случае, границы области можно найти, решив неравенство xy ≤ 2.

Учитывая, что 0 ≤ x ≤ 2 и 0 ≤ y ≤ 2, мы можем рассмотреть несколько случаев:

1. Когда x = 0 или y = 0: В этом случае, так как одно из чисел равно 0, то неравенство xy ≤ 2 всегда будет выполняться.

2. Когда x > 0 и y > 0: В этом случае, мы можем переписать неравенство xy ≤ 2 в виде y ≤ 2/x. Таким образом, область, где выполняется это неравенство, будет представлять собой треугольник с вершинами (0, 0), (2, 0) и (2, 2/x).

Вычисление общей площади прямоугольника:

Общая площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины. В данном случае, длина прямоугольника равна 2 (так как 0 ≤ x ≤ 2), а ширина также равна 2 (так как 0 ≤ y ≤ 2). Таким образом, общая площадь прямоугольника равна 2 * 2 = 4.

Вычисление вероятности:

Теперь, чтобы вычислить вероятность того, что выбранная точка будет удовлетворять соотношению xy ≤ 2, нужно разделить площадь области, где выполняется это соотношение, на общую площадь прямоугольника.

Вероятность P можно выразить следующим образом: P = (площадь области, где выполняется xy ≤ 2) / (общая площадь прямоугольника)

Подставляя значения площади области и общей площади прямоугольника, получаем: P = (площадь треугольника) / 4

Вычисление площади треугольника:

Для вычисления площади треугольника, можно использовать формулу: площадь = (основание * высота) / 2

В данном случае, основание треугольника равно 2 (так как это длина прямоугольника), а высота равна 2/x (так как это расстояние от точки (2, 0) до точки (2, 2/x)). Подставляя значения, получаем: площадь треугольника = (2 * (2/x)) / 2 = 2/x

Вычисление вероятности (окончательный ответ):

Теперь, подставляя значение площади треугольника в формулу для вероятности, получаем: P = (2/x) / 4 = 1 / (2x)

Таким образом, вероятность того, что координаты выбранной точки в прямоугольнике удовлетворяют соотношению xy ≤ 2, равна 1 / (2x).

Пожалуйста, обратите внимание, что данная формула верна только при условии, что точка выбирается наугад и равномерно распределена внутри прямоугольника.