Question

Координаты и векторы Вычислите угол между прямыми АВ и СД, если А (1;1;0), В (3;-1;0), С (4;-1;2), Д (0;1;0).

Answer 1

Координатами вектора AB будут: 3 – 1 = 2, -1 – 1 = -2, 0 – 0 = 0;

|AB| = √((2)^2 + (-2)^2 + 0^2)

|AB| = √(8) = 2√2.

Координатами вектора CD будут: 0 – 4 = -4, 1 – (-1) = 2, 0 – 2 = -2;

|CD| = √((-4)^2 + (2)^2 + (-2)^2)

|CD| = √(24) = 2√6.

cos α = (2*(-4) + (-2)*2 + 0*(-2)) / ( 2√2*2√6) =  -12/(8√3) = -3/(2√3) = -√3/2.

Угол α = arccos(-√3/2) = 150 градусов.                                                                

Answer 2

Для вычисления угла между прямыми АВ и СД, нам понадобятся координаты точек на этих прямых.

Дано: Точка А: (1, 1, 0) Точка В: (3, -1, 0) Точка С: (4, -1, 2) Точка Д: (0, 1, 0)

Нахождение векторов

Для начала, найдем векторы, соответствующие отрезкам АВ и СД. Вектор вычисляется как разность координат двух точек.

Вектор AB: V_AB = B - A = (3, -1, 0) - (1, 1, 0) = (2, -2, 0) Вектор CD: V_CD = D - C = (0, 1, 0) - (4, -1, 2) = (-4, 2, -2)

Нахождение угла между векторами

Для вычисления угла между векторами, можно воспользоваться формулой для скалярного произведения векторов:

cos(θ) = (V_AB · V_CD) / (|V_AB| * |V_CD|)

где V_AB · V_CD - скалярное произведение векторов, |V_AB| и |V_CD| - длины векторов.

Вычислим сначала скалярное произведение:

V_AB · V_CD = (2 * -4) + (-2 * 2) + (0 * -2) = -8 - 4 + 0 = -12

Теперь найдем длины векторов:

|V_AB| = √(2^2 + (-2)^2 + 0^2) = √(4 + 4) = √8 = 2√2 |V_CD| = √((-4)^2 + 2^2 + (-2)^2) = √(16 + 4 + 4) = √24 = 2√6

Подставим значения в формулу:

cos(θ) = -12 / (2√2 * 2√6) = -12 / (4√12) = -3 / √12 = -3 / (2√3) = -√3 / 2

Теперь, чтобы найти сам угол θ, возьмем арккосинус от полученного значения:

θ = arccos(-√3 / 2) ≈ 150.26°

Таким образом, угол между прямыми АВ и СД составляет примерно 150.26 градусов.