Question

Надо найти производную функции, экстремумы, промежутки монотонности (возрастание, убывание) 1) y = x3 - 3x2 + 5 2) y = 6x2 - x3 ; составить уравнение касательной в точке Хо = 1

Answer 1

Пошаговое объяснение:

1)  f ’(x) = 3x^2 + 6x = 3x(x - 2)

Находим нули, приравняв производную к нулю: 0 = 3x(x - 2);

x = 0 или x = 2.

На промежутке (-∞; 0) производная положительна, функция возрастает.

На (0; 2) отрицательна, функция убывает.

На (2; +∞) положительна, функция возрастает.

2)  f ’(x) = 12x - 3x^2 = -3x(x - 4)

Находим нули, приравняв производную к нулю: 0 = -3x(x - 4)

x = 0 или x = 4

На промежутке (-∞; 0) производная отрицательна, функция убывает.

На (0; 4) положительна, функция возрастает.

На (4; +∞) отрицательна, функция убывает.

Уравнение касательной: y = f ’(x0) * (x − x0) + f (x0);

f (x0) = 6(1)^2 - 1^3 = 5;

f ’(x0) = -3*1*(1 - 4) = 9;

y = 9 * (x − 1) + 5 = 9x - 9 + 5 = 9x -4;

y = 9x - 4  

Answer 2

Для начала найдем производные данных функций, затем определим экстремумы и промежутки монотонности. После этого мы сможем составить уравнение касательной в точке \(x_0 = 1\).

Нахождение производных

1) Для функции \(y = x^3 - 3x^2 + 5\): Для нахождения производной данной функции, возьмем производные каждого члена по отдельности: \(\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(5)\) \(\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 6x\)

2) Для функции \(y = 6x^2 - x^3\): Также найдем производную данной функции: \(\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(6x^2) - \frac{d}{dx}(x^3)\) \(\frac{dy}{dx} = 12x - 3x^2\)

Определение экстремумов и промежутков монотонности

1) Функция \(y = x^3 - 3x^2 + 5\): Для определения экстремумов и промежутков монотонности найдем точки, в которых производная равна нулю, и проверим знаки производной в окрестностях этих точек.

Найдем точки, в которых производная равна нулю: \(3x^2 - 6x = 0\) \(3x(x - 2) = 0\) \(x = 0, x = 2\)

Теперь определим знаки производной в окрестностях этих точек: Для \(x < 0\), \(\frac{dy}{dx} > 0\) Для \(0 < x < 2\), \(\frac{dy}{dx} < 0\) Для \(x > 2\), \(\frac{dy}{dx} > 0\)

Таким образом, у функции \(y = x^3 - 3x^2 + 5\) есть локальный максимум в точке \(x = 0\) и локальный минимум в точке \(x = 2\).

2) Функция \(y = 6x^2 - x^3\): Для этой функции также найдем точки, в которых производная равна нулю, и определим знаки производной в окрестностях этих точек:

Найдем точки, в которых производная равна нулю: \(12x - 3x^2 = 0\) \(3x(4 - x) = 0\) \(x = 0, x = 4\)

Определим знаки производной в окрестностях этих точек: Для \(x < 0\), \(\frac{dy}{dx} < 0\) Для \(0 < x < 4\), \(\frac{dy}{dx} > 0\) Для \(x > 4\), \(\frac{dy}{dx} < 0\)

Таким образом, у функции \(y = 6x^2 - x^3\) есть локальный минимум в точке \(x = 0\) и локальный максимум в точке \(x = 4\).

Уравнение касательной в точке \(x_0 = 1\)

Для того чтобы найти уравнение касательной, нам нужно найти значение функции и производной в точке \(x_0 = 1\). Затем мы сможем использовать эти значения, чтобы составить уравнение касательной.