Question

Решите интеграл от dx/√5-x^2+4x и интеграл от x-2/x^2-7x+12 * dx

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1) I=∫dx/(√5-x²+4x)= - ∫dx/(x²-4x-√5)=

D=b²-4ac=16+4√5 = 4(4+√5) = (2√(4+√5) )² ⇒

x₁= 2+√(4+√5)

x₂= 2 -√(4+√5)  

Тогда x²-4x-√5 =(x-2 -√(4+√5) )·(x - 2 +√(4+√5) ) ⇒

I = - ∫dx/(x²-4x-√5)= -∫dx/(x-2 -√(4+√5) )·(x - 2 +√(4+√5) )

используя метод неопределённых коэффициентов, разложим нашу дробь 1/(x-2 -√(4+√5) )·(x - 2 +√(4+√5) ) на простейшие:

1/(x-2 -√(4+√5) )·(x - 2 +√(4+√5) ) = А/(x-2 -√(4+√5) ) - В/(x - 2 +√(4+√5))  

=Ax-2A+A√(4+√5)-BX+2B+B√(4+√5) /(x-2 -√(4+√5) )·(x - 2 +√(4+√5) )   ⇒ (A-B)x+(2B-2A +A√(4+√5)+B√(4+√5) =1

A-B=0 ⇒A=B , тогда 2A√(4+√5)=1 ⇒ А=В=1 /2√(4+√5)

Значит 1/(x-2 -√(4+√5) )·(x - 2 +√(4+√5) ) = 1 /2√(4+√5)(x-2 -√(4+√5) ) - 1 /2√(4+√5)(x - 2 +√(4+√5))  

I= -1 /2√(4+√5)· [ ∫dx/(x-2 -√(4+√5) )  -∫dx/(x - 2 +√(4+√5) ) ] =

=-1 /2√(4+√5)· [I₁ -I₂]

I₁= ∫dx/(x-2 -√(4+√5) ) = ln|x-2 -√(4+√5)|

I₂ =∫dx/(x-2 +√(4+√5) ) = ln|x-2 + √(4+√5)|  

I= -1 /2√(4+√5)· [ ln|x-2 -√(4+√5)|  - ln|x-2 + √(4+√5)| ] +C

=   1 /2√(4+√5)· ln |(x-2 + √(4+√5) / |x-2 - √(4+√5)|  +C

2)  ∫(x-2)dx/(x²-7x+12)  

I = ∫(x-2)dx/(x²-7x+12) = ∫(x-2)dx/(x²-7x+12) = 0,5·∫(2x-4)dx/(x²-7x+12) = =  0,5·∫(2x-7+3)dx/(x²-7x+12) =

= 0,5·[ ∫(2x-7)dx/(x²-7x+12) + 3∫dx/(x²-7x+12) ]=0,5· [I₁+3I₂]

Вычислим:

I₁ =∫(2x-7)dx/(x²-7x+12)  = |x²-7x+12=t ⇒(2x-7)dx=dt|=

∫dt/t=lnt = ln(x²-7x+12)  

I₂ = ∫dx/(x²-7x+12)  =

x²-7x+12=(x-3)(x-4), так как D=49-48=1 ⇒ х₁=(7+1)/2=4, х₂=(7-1)/2=3 ⇒  

I₂ = ∫dx/(x-3)(x-4)  =  [ ∫dx/(x-4) - ∫dx/(x-3) ]  =ln(x-4) - ln(x-3) ⇒

I=0,5· [I₁+3I₂] =0,5·[ ln(x²-7x+12)  +3ln(x-4) - 3ln(x-3) ] +C

Answer 2

Интеграл от dx/√(5-x^2+4x):

Для начала проведем замену переменной. Пусть u = x^2 + 4x - 5, тогда du = (2x + 4)dx. Таким образом, мы можем переписать интеграл следующим образом: ∫ dx/√(5-x^2+4x) = ∫ dx/√(u)

Теперь проведем еще одну замену. Пусть t = √u, тогда u = t^2 и du = 2tdt. Подставим это в интеграл: ∫ dx/√(5-x^2+4x) = ∫ dx/√(u) = ∫ (1/2t) * 2t * dt = ∫ dt = t + C

Теперь вернемся к исходной переменной: t = √u, u = x^2 + 4x - 5 ∫ dx/√(5-x^2+4x) = √(x^2 + 4x - 5) + C

Интеграл от (x-2)/(x^2-7x+12) * dx:

Для начала разложим знаменатель на множители: x^2 - 7x + 12 = (x-3)(x-4)

Теперь представим дробь в виде суммы простых дробей: (x-2)/(x^2-7x+12) = A/(x-3) + B/(x-4)

Умножим обе части равенства на x^2-7x+12: x-2 = A(x-4) + B(x-3)

Подставим x=3: 3-2 = A(3-4) + B(3-3) 1 = -A A = -1

Подставим x=4: 4-2 = B(4-3) 2 = B B = 2

Теперь можем проинтегрировать: ∫ (x-2)/(x^2-7x+12) * dx = ∫ (-1/(x-3) + 2/(x-4)) * dx = -ln|x-3| + 2ln|x-4| + C

Итак, интеграл от dx/√(5-x^2+4x) равен √(x^2 + 4x - 5) + C, а интеграл от (x-2)/(x^2-7x+12) * dx равен -ln|x-3| + 2ln|x-4| + C.