Question

100 баллов! На каждой медиане треугольника взята точка, делящая медиану в отношении 2:3, считая от вершины. Во сколько раз площадь треугольника с вершинами в этих точках меньше площади исходного треугольника?

Answer 1

Ответ:

В 6,25 раз меньше.

Пошаговое объяснение:

Пусть треугольник АВС. О-точка пересечения медиан.

Медианы ВМ, АН и СК. Точи В1 на ВМ, А1 на АН и С1 на СК.

ВО=ВМ*2/3. Пусть ВВ1=2х,В1М=3х ВМ=5х Значит ВВ1=ВМ*2/5

В1О=(2/3-2/5)*ВМ=4/15*ВМ. ВО:В1О=(2/3:4/15)=30/12=2,5

Точно также АО:А1О=2,5 и СО:С1О=2,5

Но это значит, что, например, треугольник ОА1В1 подобен треугольнику ОАВ по отношению сторон при обшем угле.

То же и про треугольники ОВС и ОВ!С! и треугольники ОАС и ОА1С1. Значит стороны треугольнико А1В1С1 и АВС параллельны (соответственные углы при секущих равны). Треугольник А1В1С1 подобен треугольникуАВС по трем углам. Коэффицинт подобия равен 2,5. Значит периметр АВС в 2,5 раза больше периметра А1В1С1. площадь АВС в 2,5*2,5=6,25 раз больше у АВС .

Площадь треугольника А1В1С1 в 6,25 раз меньше площади АВС.

Извини, без рисунка. Честно подождал, может кто с рисунком пришлет.

Answer 2

Для решения данной задачи, давайте рассмотрим следующую информацию:

- Медиана треугольника: это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. - В данной задаче, на каждой медиане треугольника взята точка, которая делит медиану в отношении 2:3, считая от вершины треугольника.

Для удобства, давайте обозначим вершины исходного треугольника как A, B и C, а точки на медианах как D, E и F.

Теперь давайте рассмотрим, как эти точки расположены на медианах треугольника.

- Точка D делит медиану из вершины A в отношении 2:3, то есть AD:DB = 2:3. - Точка E делит медиану из вершины B в отношении 2:3, то есть BE:EC = 2:3. - Точка F делит медиану из вершины C в отношении 2:3, то есть CF:FA = 2:3.

Теперь давайте рассмотрим отношение площадей треугольников.

- Площадь исходного треугольника ABC обозначим как S. - Площадь треугольника, образованного точками D, E и F, обозначим как S'.

Для нахождения отношения площадей, мы можем использовать следующее свойство: площадь двух треугольников, имеющих общую высоту, пропорциональна длинам их оснований.

Таким образом, площадь треугольника DEF будет пропорциональна площади треугольника ABC, поскольку они имеют общую высоту (медиану) и основания, которые делятся в одном и том же отношении.

В данной задаче, основания треугольников ABC и DEF делятся в отношении 2:3, поэтому отношение их площадей будет равно квадрату этого отношения (2/3)^2 = 4/9.

Таким образом, площадь треугольника DEF будет составлять 4/9 от площади исходного треугольника ABC.

Итак, ответ на задачу: площадь треугольника DEF будет составлять 4/9 от площади исходного треугольника ABC.

Ответ: Площадь треугольника DEF будет составлять 4/9 от площади исходного треугольника ABC.